Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18178 / 52777
↖ ↑ ↗
← S 73.291573°
W 80.145264°		 ← 175.60 m → S 73.291573°
W 80.139771°		 →
↑
175.58 m
↓
↑
175.58 m
↓
S 73.293152°
W 80.145264°		 ← 175.59 m →
30 832 m²		 S 73.293152°
W 80.139771°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277381896972656 y=0.805320739746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277381896972656 × 216)
    floor (0.277381896972656 × 65536)
    floor (18178.5)     		tx = 18178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.805320739746094 × 216)
    floor (0.805320739746094 × 65536)
    floor (52777.5)     		ty = 52777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18178 / 52777 ti = "16/18178/52777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18178/52777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18178 ÷ 216
    18178 ÷ 65536     		x = 0.277374267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52777 ÷ 216
    52777 ÷ 65536     		y = 0.805313110351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277374267578125 × 2 - 1) × π
    -0.44525146484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.39879873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.805313110351562 × 2 - 1) × π
    -0.610626220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.91833884899541
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39879873} λ = -1.39879873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.91833884899541))-π/2
    2×atan(0.14685070082011)-π/2
    2×0.14580853454741-π/2
    0.291617069094819-1.57079632675     		φ = -1.27917926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39879873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.145264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27917926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.291573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18178 KachelY 52777 -1.39879873 -1.27917926 -80.145264 -73.291573
    Oben rechts KachelX + 1 18179 KachelY 52777 -1.39870286 -1.27917926 -80.139771 -73.291573
    Unten links KachelX 18178 KachelY + 1 52778 -1.39879873 -1.27920682 -80.145264 -73.293152
    Unten rechts KachelX + 1 18179 KachelY + 1 52778 -1.39870286 -1.27920682 -80.139771 -73.293152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27917926--1.27920682) × R
    2.75599999999265e-05 × 6371000     		dl = 175.584759999532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27917926--1.27920682) × R
    2.75599999999265e-05 × 6371000     		dr = 175.584759999532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39879873--1.39870286) × cos(-1.27917926) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.287501394913149 × 6371000     		do = 175.602335870888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39879873--1.39870286) × cos(-1.27920682) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.28747499838113 × 6371000     		du = 175.58621319196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27917926)-sin(-1.27920682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287501394913149-0.28747499838113)×R²
    abs(-1.39870286--1.39879873)×2.6396532018802e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.6396532018802e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.6396532018802e-05×40589641000000     		ar = 30831.6785529718m²