Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18177 / 6401
↖ ↑ ↗
← N 83.277383°
W130.075378°		 ← 35.75 m → N 83.277383°
W130.072632°		 →
↑
35.74 m
↓
↑
35.74 m
↓
N 83.277062°
W130.075378°		 ← 35.76 m →
1 278 m²		 N 83.277062°
W130.072632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138683319091797 y=0.0488395690917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138683319091797 × 217)
    floor (0.138683319091797 × 131072)
    floor (18177.5)     		tx = 18177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0488395690917969 × 217)
    floor (0.0488395690917969 × 131072)
    floor (6401.5)     		ty = 6401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18177 / 6401 ti = "17/18177/6401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18177/6401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18177 ÷ 217
    18177 ÷ 131072     		x = 0.138679504394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6401 ÷ 217
    6401 ÷ 131072     		y = 0.0488357543945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138679504394531 × 2 - 1) × π
    -0.722640991210938 × 3.1415926535     		Λ = -2.27024363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0488357543945312 × 2 - 1) × π
    0.902328491210938 × 3.1415926535     		Φ = 2.83474855903202
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27024363} λ = -2.27024363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.83474855903202))-π/2
    2×atan(17.0261186983672)-π/2
    2×1.5121304308695-π/2
    3.024260861739-1.57079632675     		φ = 1.45346453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27024363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.075378°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.45346453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 83.277383°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18177 KachelY 6401 -2.27024363 1.45346453 -130.075378 83.277383
    Oben rechts KachelX + 1 18178 KachelY 6401 -2.27019569 1.45346453 -130.072632 83.277383
    Unten links KachelX 18177 KachelY + 1 6402 -2.27024363 1.45345892 -130.075378 83.277062
    Unten rechts KachelX + 1 18178 KachelY + 1 6402 -2.27019569 1.45345892 -130.072632 83.277062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.45346453-1.45345892) × R
    5.60999999987821e-06 × 6371000     		dl = 35.7413099992241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.45346453-1.45345892) × R
    5.60999999987821e-06 × 6371000     		dr = 35.7413099992241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27024363--2.27019569) × cos(1.45346453) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.117062769114066 × 6371000     		do = 35.7539828830893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27024363--2.27019569) × cos(1.45345892) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.117068340540769 × 6371000     		du = 35.755684540213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.45346453)-sin(1.45345892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.117062769114066-0.117068340540769)×R²
    abs(-2.27019569--2.27024363)×5.57142670325195e-06×R²
    4.79399999999686e-05×5.57142670325195e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×5.57142670325195e-06×40589641000000     		ar = 1277.92459575416m²