Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18177 / 14082
↖ ↑ ↗
← N 80.297001°
W130.075378°		 ← 51.48 m → N 80.297001°
W130.072632°		 →
↑
51.48 m
↓
↑
51.48 m
↓
N 80.296538°
W130.075378°		 ← 51.48 m →
2 650 m²		 N 80.296538°
W130.072632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138683319091797 y=0.107440948486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138683319091797 × 217)
    floor (0.138683319091797 × 131072)
    floor (18177.5)     		tx = 18177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107440948486328 × 217)
    floor (0.107440948486328 × 131072)
    floor (14082.5)     		ty = 14082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18177 / 14082 ti = "17/18177/14082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18177/14082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18177 ÷ 217
    18177 ÷ 131072     		x = 0.138679504394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14082 ÷ 217
    14082 ÷ 131072     		y = 0.107437133789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138679504394531 × 2 - 1) × π
    -0.722640991210938 × 3.1415926535     		Λ = -2.27024363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107437133789062 × 2 - 1) × π
    0.785125732421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.46654523305037
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27024363} λ = -2.27024363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46654523305037))-π/2
    2×atan(11.7816735247245)-π/2
    2×1.48612169008863-π/2
    2.97224338017726-1.57079632675     		φ = 1.40144705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27024363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.075378°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40144705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.297001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18177 KachelY 14082 -2.27024363 1.40144705 -130.075378 80.297001
    Oben rechts KachelX + 1 18178 KachelY 14082 -2.27019569 1.40144705 -130.072632 80.297001
    Unten links KachelX 18177 KachelY + 1 14083 -2.27024363 1.40143897 -130.075378 80.296538
    Unten rechts KachelX + 1 18178 KachelY + 1 14083 -2.27019569 1.40143897 -130.072632 80.296538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40144705-1.40143897) × R
    8.07999999996589e-06 × 6371000     		dl = 51.4776799997827m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40144705-1.40143897) × R
    8.07999999996589e-06 × 6371000     		dr = 51.4776799997827m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27024363--2.27019569) × cos(1.40144705) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.168540970414489 × 6371000     		do = 51.4767506091297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27024363--2.27019569) × cos(1.40143897) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.168548934821752 × 6371000     		du = 51.4791831441117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40144705)-sin(1.40143897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168540970414489-0.168548934821752)×R²
    abs(-2.27019569--2.27024363)×7.96440726300029e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.96440726300029e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.96440726300029e-06×40589641000000     		ar = 2649.96630600579m²