Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18176 / 25851
↖ ↑ ↗
← S 71.507493°
E 19.687500°		 ← 387.46 m → S 71.507493°
E 19.698486°		 →
↑
387.48 m
↓
↑
387.48 m
↓
S 71.510978°
E 19.687500°		 ← 387.39 m →
150 121 m²		 S 71.510978°
E 19.698486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.554702758789062 y=0.788925170898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.554702758789062 × 215)
    floor (0.554702758789062 × 32768)
    floor (18176.5)     		tx = 18176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788925170898438 × 215)
    floor (0.788925170898438 × 32768)
    floor (25851.5)     		ty = 25851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18176 / 25851 ti = "15/18176/25851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18176/25851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18176 ÷ 215
    18176 ÷ 32768     		x = 0.5546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25851 ÷ 215
    25851 ÷ 32768     		y = 0.788909912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5546875 × 2 - 1) × π
    0.109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.34361170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788909912109375 × 2 - 1) × π
    -0.57781982421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.81527451481229
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34361170} λ = 0.34361170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81527451481229))-π/2
    2×atan(0.162793213107381)-π/2
    2×0.161377560912627-π/2
    0.322755121825253-1.57079632675     		φ = -1.24804120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34361170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.687500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24804120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.507493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18176 KachelY 25851 0.34361170 -1.24804120 19.687500 -71.507493
    Oben rechts KachelX + 1 18177 KachelY 25851 0.34380344 -1.24804120 19.698486 -71.507493
    Unten links KachelX 18176 KachelY + 1 25852 0.34361170 -1.24810202 19.687500 -71.510978
    Unten rechts KachelX + 1 18177 KachelY + 1 25852 0.34380344 -1.24810202 19.698486 -71.510978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24804120--1.24810202) × R
    6.08199999998504e-05 × 6371000     		dl = 387.484219999047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24804120--1.24810202) × R
    6.08199999998504e-05 × 6371000     		dr = 387.484219999047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34361170-0.34380344) × cos(-1.24804120) × R
    0.000191739999999996 × 0.317180627349357 × 6371000     		do = 387.460096131821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34361170-0.34380344) × cos(-1.24810202) × R
    0.000191739999999996 × 0.317122947194593 × 6371000     		du = 387.389635465617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24804120)-sin(-1.24810202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317180627349357-0.317122947194593)×R²
    abs(0.34380344-0.34361170)×5.76801547645944e-05×R²
    0.000191739999999996×5.76801547645944e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.76801547645944e-05×40589641000000     		ar = 150121.021978625m²