Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 18176 / 14079
↖ ↑ ↗
← N 80.298390°
W130.078125°		 ← 51.47 m → N 80.298390°
W130.075378°		 →
↑
51.48 m
↓
↑
51.48 m
↓
N 80.297927°
W130.078125°		 ← 51.47 m →
2 650 m²		 N 80.297927°
W130.075378°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138675689697266 y=0.107418060302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138675689697266 × 217)
    floor (0.138675689697266 × 131072)
    floor (18176.5)     		tx = 18176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107418060302734 × 217)
    floor (0.107418060302734 × 131072)
    floor (14079.5)     		ty = 14079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18176 / 14079 ti = "17/18176/14079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18176/14079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18176 ÷ 217
    18176 ÷ 131072     		x = 0.138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14079 ÷ 217
    14079 ÷ 131072     		y = 0.107414245605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138671875 × 2 - 1) × π
    -0.72265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.27029157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107414245605469 × 2 - 1) × π
    0.785171508789062 × 3.1415926535     		Φ = 2.46668904374923
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27029157} λ = -2.27029157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46668904374923))-π/2
    2×atan(11.7833679772652)-π/2
    2×1.48613380822685-π/2
    2.97226761645369-1.57079632675     		φ = 1.40147129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27029157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.078125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40147129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.298390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18176 KachelY 14079 -2.27029157 1.40147129 -130.078125 80.298390
    Oben rechts KachelX + 1 18177 KachelY 14079 -2.27024363 1.40147129 -130.075378 80.298390
    Unten links KachelX 18176 KachelY + 1 14080 -2.27029157 1.40146321 -130.078125 80.297927
    Unten rechts KachelX + 1 18177 KachelY + 1 14080 -2.27024363 1.40146321 -130.075378 80.297927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40147129-1.40146321) × R
    8.07999999996589e-06 × 6371000     		dl = 51.4776799997827m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40147129-1.40146321) × R
    8.07999999996589e-06 × 6371000     		dr = 51.4776799997827m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27029157--2.27024363) × cos(1.40147129) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.168517077126682 × 6371000     		do = 51.4694529840201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27029157--2.27024363) × cos(1.40146321) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.168525041566953 × 6371000     		du = 51.4718855290838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40147129)-sin(1.40146321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168517077126682-0.168525041566953)×R²
    abs(-2.27024363--2.27029157)×7.96444027173493e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.96444027173493e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.96444027173493e-06×40589641000000     		ar = 2649.59064136012m²