Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18175 / 52535
↖ ↑ ↗
← S 72.905109°
W 80.161743°		 ← 179.54 m → S 72.905109°
W 80.156250°		 →
↑
179.53 m
↓
↑
179.53 m
↓
S 72.906723°
W 80.161743°		 ← 179.53 m →
32 233 m²		 S 72.906723°
W 80.156250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277336120605469 y=0.801628112792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277336120605469 × 216)
    floor (0.277336120605469 × 65536)
    floor (18175.5)     		tx = 18175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801628112792969 × 216)
    floor (0.801628112792969 × 65536)
    floor (52535.5)     		ty = 52535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18175 / 52535 ti = "16/18175/52535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18175/52535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18175 ÷ 216
    18175 ÷ 65536     		x = 0.277328491210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52535 ÷ 216
    52535 ÷ 65536     		y = 0.801620483398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277328491210938 × 2 - 1) × π
    -0.445343017578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.39908635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.801620483398438 × 2 - 1) × π
    -0.603240966796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.8951373895793
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39908635} λ = -1.39908635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8951373895793))-π/2
    2×atan(0.150297684292219)-π/2
    2×0.149181068670117-π/2
    0.298362137340235-1.57079632675     		φ = -1.27243419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39908635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.161743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27243419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.905109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18175 KachelY 52535 -1.39908635 -1.27243419 -80.161743 -72.905109
    Oben rechts KachelX + 1 18176 KachelY 52535 -1.39899048 -1.27243419 -80.156250 -72.905109
    Unten links KachelX 18175 KachelY + 1 52536 -1.39908635 -1.27246237 -80.161743 -72.906723
    Unten rechts KachelX + 1 18176 KachelY + 1 52536 -1.39899048 -1.27246237 -80.156250 -72.906723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27243419--1.27246237) × R
    2.81799999999333e-05 × 6371000     		dl = 179.534779999575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27243419--1.27246237) × R
    2.81799999999333e-05 × 6371000     		dr = 179.534779999575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39908635--1.39899048) × cos(-1.27243419) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.293955100496333 × 6371000     		do = 179.544180312277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39908635--1.39899048) × cos(-1.27246237) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.293928165393742 × 6371000     		du = 179.527728681031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27243419)-sin(-1.27246237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293955100496333-0.293928165393742)×R²
    abs(-1.39899048--1.39908635)×2.69351025916631e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.69351025916631e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.69351025916631e-05×40589641000000     		ar = 32232.9480948532m²