Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18175 / 52534
↖ ↑ ↗
← S 72.903494°
W 80.161743°		 ← 179.56 m → S 72.903494°
W 80.156250°		 →
↑
179.53 m
↓
↑
179.53 m
↓
S 72.905109°
W 80.161743°		 ← 179.54 m →
32 236 m²		 S 72.905109°
W 80.156250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277336120605469 y=0.801612854003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277336120605469 × 216)
    floor (0.277336120605469 × 65536)
    floor (18175.5)     		tx = 18175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801612854003906 × 216)
    floor (0.801612854003906 × 65536)
    floor (52534.5)     		ty = 52534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18175 / 52534 ti = "16/18175/52534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18175/52534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18175 ÷ 216
    18175 ÷ 65536     		x = 0.277328491210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52534 ÷ 216
    52534 ÷ 65536     		y = 0.801605224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277328491210938 × 2 - 1) × π
    -0.445343017578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.39908635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.801605224609375 × 2 - 1) × π
    -0.60321044921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.89504151578006
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39908635} λ = -1.39908635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89504151578006))-π/2
    2×atan(0.150312094593003)-π/2
    2×0.149195160611955-π/2
    0.29839032122391-1.57079632675     		φ = -1.27240601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39908635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.161743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27240601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.903494°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18175 KachelY 52534 -1.39908635 -1.27240601 -80.161743 -72.903494
    Oben rechts KachelX + 1 18176 KachelY 52534 -1.39899048 -1.27240601 -80.156250 -72.903494
    Unten links KachelX 18175 KachelY + 1 52535 -1.39908635 -1.27243419 -80.161743 -72.905109
    Unten rechts KachelX + 1 18176 KachelY + 1 52535 -1.39899048 -1.27243419 -80.156250 -72.905109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27240601--1.27243419) × R
    2.81799999999333e-05 × 6371000     		dl = 179.534779999575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27240601--1.27243419) × R
    2.81799999999333e-05 × 6371000     		dr = 179.534779999575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39908635--1.39899048) × cos(-1.27240601) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.293982035365492 × 6371000     		do = 179.560631800946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39908635--1.39899048) × cos(-1.27243419) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.293955100496333 × 6371000     		du = 179.544180312277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27240601)-sin(-1.27243419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293982035365492-0.293955100496333)×R²
    abs(-1.39899048--1.39908635)×2.69348691583349e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.69348691583349e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.69348691583349e-05×40589641000000     		ar = 32235.901721812m²