Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18175 / 14077
↖ ↑ ↗
← N 80.299316°
W130.080871°		 ← 51.45 m → N 80.299316°
W130.078125°		 →
↑
51.48 m
↓
↑
51.48 m
↓
N 80.298853°
W130.080871°		 ← 51.46 m →
2 649 m²		 N 80.298853°
W130.078125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138668060302734 y=0.107402801513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138668060302734 × 217)
    floor (0.138668060302734 × 131072)
    floor (18175.5)     		tx = 18175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107402801513672 × 217)
    floor (0.107402801513672 × 131072)
    floor (14077.5)     		ty = 14077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18175 / 14077 ti = "17/18175/14077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18175/14077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18175 ÷ 217
    18175 ÷ 131072     		x = 0.138664245605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14077 ÷ 217
    14077 ÷ 131072     		y = 0.107398986816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138664245605469 × 2 - 1) × π
    -0.722671508789062 × 3.1415926535     		Λ = -2.27033950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107398986816406 × 2 - 1) × π
    0.785202026367188 × 3.1415926535     		Φ = 2.46678491754847
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27033950} λ = -2.27033950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46678491754847))-π/2
    2×atan(11.7844977476778)-π/2
    2×1.48614188603138-π/2
    2.97228377206276-1.57079632675     		φ = 1.40148745
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27033950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.080871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40148745 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.299316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18175 KachelY 14077 -2.27033950 1.40148745 -130.080871 80.299316
    Oben rechts KachelX + 1 18176 KachelY 14077 -2.27029157 1.40148745 -130.078125 80.299316
    Unten links KachelX 18175 KachelY + 1 14078 -2.27033950 1.40147937 -130.080871 80.298853
    Unten rechts KachelX + 1 18176 KachelY + 1 14078 -2.27029157 1.40147937 -130.078125 80.298853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40148745-1.40147937) × R
    8.08000000018794e-06 × 6371000     		dl = 51.4776800011973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40148745-1.40147937) × R
    8.08000000018794e-06 × 6371000     		dr = 51.4776800011973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27033950--2.27029157) × cos(1.40148745) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.168501148213133 × 6371000     		do = 51.4538526757246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27033950--2.27029157) × cos(1.40147937) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.168509112675408 × 6371000     		du = 51.4562847200929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40148745)-sin(1.40147937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168501148213133-0.168509112675408)×R²
    abs(-2.27029157--2.27033950)×7.96446227518954e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.96446227518954e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.96446227518954e-06×40589641000000     		ar = 2648.78756087593m²