Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 18172 / 52571
↖ ↑ ↗
← S 72.963144°
W 80.178222°		 ← 178.95 m → S 72.963144°
W 80.172729°		 →
↑
178.96 m
↓
↑
178.96 m
↓
S 72.964753°
W 80.178222°		 ← 178.94 m →
32 024 m²		 S 72.964753°
W 80.172729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277290344238281 y=0.802177429199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277290344238281 × 216)
    floor (0.277290344238281 × 65536)
    floor (18172.5)     		tx = 18172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802177429199219 × 216)
    floor (0.802177429199219 × 65536)
    floor (52571.5)     		ty = 52571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18172 / 52571 ti = "16/18172/52571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18172/52571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18172 ÷ 216
    18172 ÷ 65536     		x = 0.27728271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52571 ÷ 216
    52571 ÷ 65536     		y = 0.802169799804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27728271484375 × 2 - 1) × π
    -0.4454345703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.39937397
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802169799804688 × 2 - 1) × π
    -0.604339599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.89858884635194
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39937397} λ = -1.39937397}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89858884635194))-π/2
    2×atan(0.149779832517441)-π/2
    2×0.148674617936691-π/2
    0.297349235873382-1.57079632675     		φ = -1.27344709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39937397} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.178222°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27344709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.963144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18172 KachelY 52571 -1.39937397 -1.27344709 -80.178222 -72.963144
    Oben rechts KachelX + 1 18173 KachelY 52571 -1.39927810 -1.27344709 -80.172729 -72.963144
    Unten links KachelX 18172 KachelY + 1 52572 -1.39937397 -1.27347518 -80.178222 -72.964753
    Unten rechts KachelX + 1 18173 KachelY + 1 52572 -1.39927810 -1.27347518 -80.172729 -72.964753
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27344709--1.27347518) × R
    2.80900000000361e-05 × 6371000     		dl = 178.96139000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27344709--1.27347518) × R
    2.80900000000361e-05 × 6371000     		dr = 178.96139000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39937397--1.39927810) × cos(-1.27344709) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.292986800570617 × 6371000     		do = 178.952754559958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39937397--1.39927810) × cos(-1.27347518) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.29295994314294 × 6371000     		du = 178.936350371599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27344709)-sin(-1.27347518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292986800570617-0.29295994314294)×R²
    abs(-1.39927810--1.39937397)×2.68574276769407e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.68574276769407e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.68574276769407e-05×40589641000000     		ar = 32024.1658446128m²