Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18170 / 24246
↖ ↑ ↗
← S 65.025785°
E 19.621582°		 ← 515.79 m → S 65.025785°
E 19.632568°		 →
↑
515.73 m
↓
↑
515.73 m
↓
S 65.030423°
E 19.621582°		 ← 515.70 m →
265 986 m²		 S 65.030423°
E 19.632568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.554519653320312 y=0.739944458007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.554519653320312 × 215)
    floor (0.554519653320312 × 32768)
    floor (18170.5)     		tx = 18170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739944458007812 × 215)
    floor (0.739944458007812 × 32768)
    floor (24246.5)     		ty = 24246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18170 / 24246 ti = "15/18170/24246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18170/24246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18170 ÷ 215
    18170 ÷ 32768     		x = 0.55450439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24246 ÷ 215
    24246 ÷ 32768     		y = 0.73992919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55450439453125 × 2 - 1) × π
    0.1090087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.34246121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73992919921875 × 2 - 1) × π
    -0.4798583984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.50751961925153
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34246121} λ = 0.34246121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50751961925153))-π/2
    2×atan(0.221458598929027)-π/2
    2×0.217941140230699-π/2
    0.435882280461398-1.57079632675     		φ = -1.13491405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34246121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.621582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13491405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.025785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18170 KachelY 24246 0.34246121 -1.13491405 19.621582 -65.025785
    Oben rechts KachelX + 1 18171 KachelY 24246 0.34265296 -1.13491405 19.632568 -65.025785
    Unten links KachelX 18170 KachelY + 1 24247 0.34246121 -1.13499500 19.621582 -65.030423
    Unten rechts KachelX + 1 18171 KachelY + 1 24247 0.34265296 -1.13499500 19.632568 -65.030423
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13491405--1.13499500) × R
    8.09500000000796e-05 × 6371000     		dl = 515.732450000507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13491405--1.13499500) × R
    8.09500000000796e-05 × 6371000     		dr = 515.732450000507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34246121-0.34265296) × cos(-1.13491405) × R
    0.000191749999999991 × 0.422210347641635 × 6371000     		do = 515.788732435141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34246121-0.34265296) × cos(-1.13499500) × R
    0.000191749999999991 × 0.422136965254267 × 6371000     		du = 515.699085630474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13491405)-sin(-1.13499500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422210347641635-0.422136965254267)×R²
    abs(0.34265296-0.34246121)×7.33823873674266e-05×R²
    0.000191749999999991×7.33823873674266e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.33823873674266e-05×40589641000000     		ar = 265985.869923335m²