Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18170 / 22366
↖ ↑ ↗
← N 75.608167°
W130.094605°		 ← 75.91 m → N 75.608167°
W130.091858°		 →
↑
75.94 m
↓
↑
75.94 m
↓
N 75.607484°
W130.094605°		 ← 75.92 m →
5 765 m²		 N 75.607484°
W130.091858°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138629913330078 y=0.170642852783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138629913330078 × 217)
    floor (0.138629913330078 × 131072)
    floor (18170.5)     		tx = 18170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.170642852783203 × 217)
    floor (0.170642852783203 × 131072)
    floor (22366.5)     		ty = 22366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18170 / 22366 ti = "17/18170/22366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18170/22366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18170 ÷ 217
    18170 ÷ 131072     		x = 0.138626098632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22366 ÷ 217
    22366 ÷ 131072     		y = 0.170639038085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138626098632812 × 2 - 1) × π
    -0.722747802734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.27057919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.170639038085938 × 2 - 1) × π
    0.658721923828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.06943595659782
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27057919} λ = -2.27057919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06943595659782))-π/2
    2×atan(7.92035443404074)-π/2
    2×1.44520388637239-π/2
    2.89040777274479-1.57079632675     		φ = 1.31961145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27057919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.094605°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31961145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.608167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18170 KachelY 22366 -2.27057919 1.31961145 -130.094605 75.608167
    Oben rechts KachelX + 1 18171 KachelY 22366 -2.27053125 1.31961145 -130.091858 75.608167
    Unten links KachelX 18170 KachelY + 1 22367 -2.27057919 1.31959953 -130.094605 75.607484
    Unten rechts KachelX + 1 18171 KachelY + 1 22367 -2.27053125 1.31959953 -130.091858 75.607484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31961145-1.31959953) × R
    1.19199999999431e-05 × 6371000     		dl = 75.9423199996374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31961145-1.31959953) × R
    1.19199999999431e-05 × 6371000     		dr = 75.9423199996374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27057919--2.27053125) × cos(1.31961145) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.248551827161393 × 6371000     		do = 75.9141257390706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27057919--2.27053125) × cos(1.31959953) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.248563373077428 × 6371000     		du = 75.9176521590196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31961145)-sin(1.31959953))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.248551827161393-0.248563373077428)×R²
    abs(-2.27053125--2.27057919)×1.15459160349995e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.15459160349995e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.15459160349995e-05×40589641000000     		ar = 5765.22873182035m²