Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1817 / 2701
↖ ↑ ↗
← S 49.667628°
W 20.302734°		 ← 6 325.28 m → S 49.667628°
W 20.214844°		 →
↑
6 321.56 m
↓
↑
6 321.56 m
↓
S 49.724479°
W 20.302734°		 ← 6 317.88 m →
39 962 260 m²		 S 49.724479°
W 20.214844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4437255859375 y=0.6595458984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4437255859375 × 212)
    floor (0.4437255859375 × 4096)
    floor (1817.5)     		tx = 1817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6595458984375 × 212)
    floor (0.6595458984375 × 4096)
    floor (2701.5)     		ty = 2701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1817 / 2701 ti = "12/1817/2701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1817/2701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1817 ÷ 212
    1817 ÷ 4096     		x = 0.443603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2701 ÷ 212
    2701 ÷ 4096     		y = 0.659423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443603515625 × 2 - 1) × π
    -0.11279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35434956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659423828125 × 2 - 1) × π
    -0.31884765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.00168945446069
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35434956} λ = -0.35434956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00168945446069))-π/2
    2×atan(0.367258450324142)-π/2
    2×0.351966344826766-π/2
    0.703932689653532-1.57079632675     		φ = -0.86686364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35434956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.302734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86686364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.667628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1817 KachelY 2701 -0.35434956 -0.86686364 -20.302734 -49.667628
    Oben rechts KachelX + 1 1818 KachelY 2701 -0.35281558 -0.86686364 -20.214844 -49.667628
    Unten links KachelX 1817 KachelY + 1 2702 -0.35434956 -0.86785588 -20.302734 -49.724479
    Unten rechts KachelX + 1 1818 KachelY + 1 2702 -0.35281558 -0.86785588 -20.214844 -49.724479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86686364--0.86785588) × R
    0.000992239999999978 × 6371000     		dl = 6321.56103999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86686364--0.86785588) × R
    0.000992239999999978 × 6371000     		dr = 6321.56103999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35434956--0.35281558) × cos(-0.86686364) × R
    0.00153397999999999 × 0.647220582517329 × 6371000     		do = 6325.2780672416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35434956--0.35281558) × cos(-0.86785588) × R
    0.00153397999999999 × 0.646463876730745 × 6371000     		du = 6317.8827917443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86686364)-sin(-0.86785588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647220582517329-0.646463876730745)×R²
    abs(-0.35281558--0.35434956)×0.000756705786583822×R²
    0.00153397999999999×0.000756705786583822×6371000²
    0.00153397999999999×0.000756705786583822×40589641000000     		ar = 39962259.8330147m²