Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1817 / 2677
↖ ↑ ↗
← S 48.283193°
W 20.302734°		 ← 6 503.43 m → S 48.283193°
W 20.214844°		 →
↑
6 499.69 m
↓
↑
6 499.69 m
↓
S 48.341646°
W 20.302734°		 ← 6 495.98 m →
42 246 096 m²		 S 48.341646°
W 20.214844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4437255859375 y=0.6536865234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4437255859375 × 212)
    floor (0.4437255859375 × 4096)
    floor (1817.5)     		tx = 1817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6536865234375 × 212)
    floor (0.6536865234375 × 4096)
    floor (2677.5)     		ty = 2677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1817 / 2677 ti = "12/1817/2677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1817/2677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1817 ÷ 212
    1817 ÷ 4096     		x = 0.443603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2677 ÷ 212
    2677 ÷ 4096     		y = 0.653564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443603515625 × 2 - 1) × π
    -0.11279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35434956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653564453125 × 2 - 1) × π
    -0.30712890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.96487391555249
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35434956} λ = -0.35434956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.96487391555249))-π/2
    2×atan(0.381031238824014)-π/2
    2×0.364047818705764-π/2
    0.728095637411527-1.57079632675     		φ = -0.84270069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35434956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.302734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84270069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.283193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1817 KachelY 2677 -0.35434956 -0.84270069 -20.302734 -48.283193
    Oben rechts KachelX + 1 1818 KachelY 2677 -0.35281558 -0.84270069 -20.214844 -48.283193
    Unten links KachelX 1817 KachelY + 1 2678 -0.35434956 -0.84372089 -20.302734 -48.341646
    Unten rechts KachelX + 1 1818 KachelY + 1 2678 -0.35281558 -0.84372089 -20.214844 -48.341646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84270069--0.84372089) × R
    0.00102019999999992 × 6371000     		dl = 6499.69419999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84270069--0.84372089) × R
    0.00102019999999992 × 6371000     		dr = 6499.69419999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35434956--0.35281558) × cos(-0.84270069) × R
    0.00153397999999999 × 0.665449343914145 × 6371000     		do = 6503.42750774271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35434956--0.35281558) × cos(-0.84372089) × R
    0.00153397999999999 × 0.664687476582563 × 6371000     		du = 6495.98178853541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84270069)-sin(-0.84372089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665449343914145-0.664687476582563)×R²
    abs(-0.35281558--0.35434956)×0.000761867331582233×R²
    0.00153397999999999×0.000761867331582233×6371000²
    0.00153397999999999×0.000761867331582233×40589641000000     		ar = 42246096.2673922m²