Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18169 / 52313
↖ ↑ ↗
← S 72.542967°
W 80.194702°		 ← 183.25 m → S 72.542967°
W 80.189209°		 →
↑
183.23 m
↓
↑
183.23 m
↓
S 72.544615°
W 80.194702°		 ← 183.23 m →
33 575 m²		 S 72.544615°
W 80.189209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277244567871094 y=0.798240661621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277244567871094 × 216)
    floor (0.277244567871094 × 65536)
    floor (18169.5)     		tx = 18169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.798240661621094 × 216)
    floor (0.798240661621094 × 65536)
    floor (52313.5)     		ty = 52313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18169 / 52313 ti = "16/18169/52313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18169/52313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18169 ÷ 216
    18169 ÷ 65536     		x = 0.277236938476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52313 ÷ 216
    52313 ÷ 65536     		y = 0.798233032226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277236938476562 × 2 - 1) × π
    -0.445526123046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.39966160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.798233032226562 × 2 - 1) × π
    -0.596466064453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.873853406148
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39966160} λ = -1.39966160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.873853406148))-π/2
    2×atan(0.153530903551786)-π/2
    2×0.152341352543298-π/2
    0.304682705086597-1.57079632675     		φ = -1.26611362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39966160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.194702°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26611362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.542967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18169 KachelY 52313 -1.39966160 -1.26611362 -80.194702 -72.542967
    Oben rechts KachelX + 1 18170 KachelY 52313 -1.39956572 -1.26611362 -80.189209 -72.542967
    Unten links KachelX 18169 KachelY + 1 52314 -1.39966160 -1.26614238 -80.194702 -72.544615
    Unten rechts KachelX + 1 18170 KachelY + 1 52314 -1.39956572 -1.26614238 -80.189209 -72.544615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26611362--1.26614238) × R
    2.8759999999961e-05 × 6371000     		dl = 183.229959999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26611362--1.26614238) × R
    2.8759999999961e-05 × 6371000     		dr = 183.229959999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39966160--1.39956572) × cos(-1.26611362) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.299990510941577 × 6371000     		do = 183.249647594498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39966160--1.39956572) × cos(-1.26614238) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.299963075440258 × 6371000     		du = 183.232888577913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26611362)-sin(-1.26614238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299990510941577-0.299963075440258)×R²
    abs(-1.39956572--1.39966160)×2.74355013188954e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.74355013188954e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.74355013188954e-05×40589641000000     		ar = 33575.2902241787m²