Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18168 / 52760
↖ ↑ ↗
← S 73.264704°
W 80.200195°		 ← 175.88 m → S 73.264704°
W 80.194702°		 →
↑
175.84 m
↓
↑
175.84 m
↓
S 73.266285°
W 80.200195°		 ← 175.86 m →
30 925 m²		 S 73.266285°
W 80.194702°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277229309082031 y=0.805061340332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277229309082031 × 216)
    floor (0.277229309082031 × 65536)
    floor (18168.5)     		tx = 18168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.805061340332031 × 216)
    floor (0.805061340332031 × 65536)
    floor (52760.5)     		ty = 52760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18168 / 52760 ti = "16/18168/52760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18168/52760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18168 ÷ 216
    18168 ÷ 65536     		x = 0.2772216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52760 ÷ 216
    52760 ÷ 65536     		y = 0.8050537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2772216796875 × 2 - 1) × π
    -0.445556640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.39975747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8050537109375 × 2 - 1) × π
    -0.610107421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.91670899440833
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39975747} λ = -1.39975747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.91670899440833))-π/2
    2×atan(0.147090241263476)-π/2
    2×0.14604301023991-π/2
    0.292086020479819-1.57079632675     		φ = -1.27871031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39975747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.200195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27871031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.264704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18168 KachelY 52760 -1.39975747 -1.27871031 -80.200195 -73.264704
    Oben rechts KachelX + 1 18169 KachelY 52760 -1.39966160 -1.27871031 -80.194702 -73.264704
    Unten links KachelX 18168 KachelY + 1 52761 -1.39975747 -1.27873791 -80.200195 -73.266285
    Unten rechts KachelX + 1 18169 KachelY + 1 52761 -1.39966160 -1.27873791 -80.194702 -73.266285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27871031--1.27873791) × R
    2.76000000001275e-05 × 6371000     		dl = 175.839600000812m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27871031--1.27873791) × R
    2.76000000001275e-05 × 6371000     		dr = 175.839600000812m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39975747--1.39966160) × cos(-1.27871031) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.287950514317585 × 6371000     		do = 175.876652510387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39975747--1.39966160) × cos(-1.27873791) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.287924083197912 × 6371000     		du = 175.860508705743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27871031)-sin(-1.27873791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287950514317585-0.287924083197912)×R²
    abs(-1.39966160--1.39975747)×2.64311196730982e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.64311196730982e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.64311196730982e-05×40589641000000     		ar = 30924.6608685006m²