Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18167 / 19351
↖ ↑ ↗
← S 30.968189°
E 19.588623°		 ← 1 047.50 m → S 30.968189°
E 19.599610°		 →
↑
1 047.39 m
↓
↑
1 047.39 m
↓
S 30.977609°
E 19.588623°		 ← 1 047.40 m →
1 097 088 m²		 S 30.977609°
E 19.599610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.554428100585938 y=0.590560913085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.554428100585938 × 215)
    floor (0.554428100585938 × 32768)
    floor (18167.5)     		tx = 18167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590560913085938 × 215)
    floor (0.590560913085938 × 32768)
    floor (19351.5)     		ty = 19351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18167 / 19351 ti = "15/18167/19351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18167/19351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18167 ÷ 215
    18167 ÷ 32768     		x = 0.554412841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19351 ÷ 215
    19351 ÷ 32768     		y = 0.590545654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.554412841796875 × 2 - 1) × π
    0.10882568359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.34188597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590545654296875 × 2 - 1) × π
    -0.18109130859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.568915124690826
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34188597} λ = 0.34188597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.568915124690826))-π/2
    2×atan(0.56613929620391)-π/2
    2×0.515149730099456-π/2
    1.03029946019891-1.57079632675     		φ = -0.54049687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34188597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.588623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54049687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.968189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18167 KachelY 19351 0.34188597 -0.54049687 19.588623 -30.968189
    Oben rechts KachelX + 1 18168 KachelY 19351 0.34207772 -0.54049687 19.599610 -30.968189
    Unten links KachelX 18167 KachelY + 1 19352 0.34188597 -0.54066127 19.588623 -30.977609
    Unten rechts KachelX + 1 18168 KachelY + 1 19352 0.34207772 -0.54066127 19.599610 -30.977609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54049687--0.54066127) × R
    0.000164399999999953 × 6371000     		dl = 1047.3923999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54049687--0.54066127) × R
    0.000164399999999953 × 6371000     		dr = 1047.3923999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34188597-0.34207772) × cos(-0.54049687) × R
    0.000191749999999991 × 0.857453116748692 × 6371000     		do = 1047.49838245498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34188597-0.34207772) × cos(-0.54066127) × R
    0.000191749999999991 × 0.857368511152834 × 6371000     		du = 1047.39502493831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54049687)-sin(-0.54066127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857453116748692-0.857368511152834)×R²
    abs(0.34207772-0.34188597)×8.46055958579894e-05×R²
    0.000191749999999991×8.46055958579894e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.46055958579894e-05×40589641000000     		ar = 1097087.71932794m²