Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18165 / 51277
↖ ↑ ↗
← S 70.752534°
W 80.216675°		 ← 201.35 m → S 70.752534°
W 80.211182°		 →
↑
201.32 m
↓
↑
201.32 m
↓
S 70.754344°
W 80.216675°		 ← 201.33 m →
40 534 m²		 S 70.754344°
W 80.211182°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277183532714844 y=0.782432556152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277183532714844 × 216)
    floor (0.277183532714844 × 65536)
    floor (18165.5)     		tx = 18165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782432556152344 × 216)
    floor (0.782432556152344 × 65536)
    floor (51277.5)     		ty = 51277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18165 / 51277 ti = "16/18165/51277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18165/51277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18165 ÷ 216
    18165 ÷ 65536     		x = 0.277175903320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51277 ÷ 216
    51277 ÷ 65536     		y = 0.782424926757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277175903320312 × 2 - 1) × π
    -0.445648193359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40004509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782424926757812 × 2 - 1) × π
    -0.564849853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.77452815013524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40004509} λ = -1.40004509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77452815013524))-π/2
    2×atan(0.169563439112256)-π/2
    2×0.167965827909231-π/2
    0.335931655818461-1.57079632675     		φ = -1.23486467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40004509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.216675°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23486467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.752534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18165 KachelY 51277 -1.40004509 -1.23486467 -80.216675 -70.752534
    Oben rechts KachelX + 1 18166 KachelY 51277 -1.39994922 -1.23486467 -80.211182 -70.752534
    Unten links KachelX 18165 KachelY + 1 51278 -1.40004509 -1.23489627 -80.216675 -70.754344
    Unten rechts KachelX + 1 18166 KachelY + 1 51278 -1.39994922 -1.23489627 -80.211182 -70.754344
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23486467--1.23489627) × R
    3.15999999997985e-05 × 6371000     		dl = 201.323599998716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23486467--1.23489627) × R
    3.15999999997985e-05 × 6371000     		dr = 201.323599998716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40004509--1.39994922) × cos(-1.23486467) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.329648893345515 × 6371000     		do = 201.345512449471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40004509--1.39994922) × cos(-1.23489627) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.32961905950718 × 6371000     		du = 201.327290305884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23486467)-sin(-1.23489627))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329648893345515-0.32961905950718)×R²
    abs(-1.39994922--1.40004509)×2.98338383349361e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.98338383349361e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.98338383349361e-05×40589641000000     		ar = 40533.7691398427m²