Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18164 / 52602
↖ ↑ ↗
← S 73.012965°
W 80.222168°		 ← 178.44 m → S 73.012965°
W 80.216675°		 →
↑
178.45 m
↓
↑
178.45 m
↓
S 73.014570°
W 80.222168°		 ← 178.43 m →
31 842 m²		 S 73.014570°
W 80.216675°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277168273925781 y=0.802650451660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277168273925781 × 216)
    floor (0.277168273925781 × 65536)
    floor (18164.5)     		tx = 18164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802650451660156 × 216)
    floor (0.802650451660156 × 65536)
    floor (52602.5)     		ty = 52602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18164 / 52602 ti = "16/18164/52602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18164/52602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18164 ÷ 216
    18164 ÷ 65536     		x = 0.27716064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52602 ÷ 216
    52602 ÷ 65536     		y = 0.802642822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27716064453125 × 2 - 1) × π
    -0.4456787109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40014096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802642822265625 × 2 - 1) × π
    -0.60528564453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.90156093412839
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40014096} λ = -1.40014096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90156093412839))-π/2
    2×atan(0.149335334578703)-π/2
    2×0.148239844780361-π/2
    0.296479689560723-1.57079632675     		φ = -1.27431664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40014096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.222168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27431664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.012965°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18164 KachelY 52602 -1.40014096 -1.27431664 -80.222168 -73.012965
    Oben rechts KachelX + 1 18165 KachelY 52602 -1.40004509 -1.27431664 -80.216675 -73.012965
    Unten links KachelX 18164 KachelY + 1 52603 -1.40014096 -1.27434465 -80.222168 -73.014570
    Unten rechts KachelX + 1 18165 KachelY + 1 52603 -1.40004509 -1.27434465 -80.216675 -73.014570
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27431664--1.27434465) × R
    2.80100000000783e-05 × 6371000     		dl = 178.451710000499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27431664--1.27434465) × R
    2.80100000000783e-05 × 6371000     		dr = 178.451710000499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40014096--1.40004509) × cos(-1.27431664) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.292155298818864 × 6371000     		do = 178.444883459254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40014096--1.40004509) × cos(-1.27434465) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.2921285107556 × 6371000     		du = 178.42852163783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27431664)-sin(-1.27434465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292155298818864-0.2921285107556)×R²
    abs(-1.40004509--1.40014096)×2.67880632633943e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.67880632633943e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.67880632633943e-05×40589641000000     		ar = 31842.3346984238m²