Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 18164 / 52590
↖ ↑ ↗
← S 72.993696°
W 80.222168°		 ← 178.64 m → S 72.993696°
W 80.216675°		 →
↑
178.64 m
↓
↑
178.64 m
↓
S 72.995303°
W 80.222168°		 ← 178.62 m →
31 912 m²		 S 72.995303°
W 80.216675°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277168273925781 y=0.802467346191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277168273925781 × 216)
    floor (0.277168273925781 × 65536)
    floor (18164.5)     		tx = 18164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802467346191406 × 216)
    floor (0.802467346191406 × 65536)
    floor (52590.5)     		ty = 52590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18164 / 52590 ti = "16/18164/52590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18164/52590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18164 ÷ 216
    18164 ÷ 65536     		x = 0.27716064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52590 ÷ 216
    52590 ÷ 65536     		y = 0.802459716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27716064453125 × 2 - 1) × π
    -0.4456787109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40014096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802459716796875 × 2 - 1) × π
    -0.60491943359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.90041044853751
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40014096} λ = -1.40014096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90041044853751))-π/2
    2×atan(0.149507241598658)-π/2
    2×0.148407997501004-π/2
    0.296815995002007-1.57079632675     		φ = -1.27398033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40014096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.222168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27398033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.993696°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18164 KachelY 52590 -1.40014096 -1.27398033 -80.222168 -72.993696
    Oben rechts KachelX + 1 18165 KachelY 52590 -1.40004509 -1.27398033 -80.216675 -72.993696
    Unten links KachelX 18164 KachelY + 1 52591 -1.40014096 -1.27400837 -80.222168 -72.995303
    Unten rechts KachelX + 1 18165 KachelY + 1 52591 -1.40004509 -1.27400837 -80.216675 -72.995303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27398033--1.27400837) × R
    2.80399999998959e-05 × 6371000     		dl = 178.642839999337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27398033--1.27400837) × R
    2.80399999998959e-05 × 6371000     		dr = 178.642839999337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40014096--1.40004509) × cos(-1.27398033) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.292476919385164 × 6371000     		do = 178.64132536773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40014096--1.40004509) × cos(-1.27400837) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.292450105386982 × 6371000     		du = 178.624947705576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27398033)-sin(-1.27400837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292476919385164-0.292450105386982)×R²
    abs(-1.40004509--1.40014096)×2.68139981823845e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.68139981823845e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.68139981823845e-05×40589641000000     		ar = 31911.530830869m²