Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18163 / 52573
↖ ↑ ↗
← S 72.966363°
W 80.227661°		 ← 178.94 m → S 72.966363°
W 80.222168°		 →
↑
178.90 m
↓
↑
178.90 m
↓
S 72.967971°
W 80.227661°		 ← 178.92 m →
32 010 m²		 S 72.967971°
W 80.222168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277153015136719 y=0.802207946777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277153015136719 × 216)
    floor (0.277153015136719 × 65536)
    floor (18163.5)     		tx = 18163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802207946777344 × 216)
    floor (0.802207946777344 × 65536)
    floor (52573.5)     		ty = 52573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18163 / 52573 ti = "16/18163/52573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18163/52573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18163 ÷ 216
    18163 ÷ 65536     		x = 0.277145385742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52573 ÷ 216
    52573 ÷ 65536     		y = 0.802200317382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277145385742188 × 2 - 1) × π
    -0.445709228515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40023684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802200317382812 × 2 - 1) × π
    -0.604400634765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.89878059395042
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40023684} λ = -1.40023684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89878059395042))-π/2
    2×atan(0.149751115347568)-π/2
    2×0.148646530753825-π/2
    0.29729306150765-1.57079632675     		φ = -1.27350327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40023684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.227661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27350327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.966363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18163 KachelY 52573 -1.40023684 -1.27350327 -80.227661 -72.966363
    Oben rechts KachelX + 1 18164 KachelY 52573 -1.40014096 -1.27350327 -80.222168 -72.966363
    Unten links KachelX 18163 KachelY + 1 52574 -1.40023684 -1.27353135 -80.227661 -72.967971
    Unten rechts KachelX + 1 18164 KachelY + 1 52574 -1.40014096 -1.27353135 -80.222168 -72.967971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27350327--1.27353135) × R
    2.80800000000969e-05 × 6371000     		dl = 178.897680000617m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27350327--1.27353135) × R
    2.80800000000969e-05 × 6371000     		dr = 178.897680000617m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40023684--1.40014096) × cos(-1.27350327) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.292933085484103 × 6371000     		do = 178.938608808814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40023684--1.40014096) × cos(-1.27353135) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.29290623715554 × 6371000     		du = 178.922208467575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27350327)-sin(-1.27353135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292933085484103-0.29290623715554)×R²
    abs(-1.40014096--1.40023684)×2.68483285630894e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.68483285630894e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.68483285630894e-05×40589641000000     		ar = 32010.2349892878m²