Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18162 / 51315
↖ ↑ ↗
← S 70.821227°
W 80.233154°		 ← 200.65 m → S 70.821227°
W 80.227661°		 →
↑
200.62 m
↓
↑
200.62 m
↓
S 70.823031°
W 80.233154°		 ← 200.64 m →
40 254 m²		 S 70.823031°
W 80.227661°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277137756347656 y=0.783012390136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277137756347656 × 216)
    floor (0.277137756347656 × 65536)
    floor (18162.5)     		tx = 18162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783012390136719 × 216)
    floor (0.783012390136719 × 65536)
    floor (51315.5)     		ty = 51315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18162 / 51315 ti = "16/18162/51315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18162/51315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18162 ÷ 216
    18162 ÷ 65536     		x = 0.277130126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51315 ÷ 216
    51315 ÷ 65536     		y = 0.783004760742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277130126953125 × 2 - 1) × π
    -0.44573974609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40033271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783004760742188 × 2 - 1) × π
    -0.566009521484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.77817135450636
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40033271} λ = -1.40033271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77817135450636))-π/2
    2×atan(0.168946808786889)-π/2
    2×0.167366370436979-π/2
    0.334732740873957-1.57079632675     		φ = -1.23606359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40033271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.233154°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23606359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.821227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18162 KachelY 51315 -1.40033271 -1.23606359 -80.233154 -70.821227
    Oben rechts KachelX + 1 18163 KachelY 51315 -1.40023684 -1.23606359 -80.227661 -70.821227
    Unten links KachelX 18162 KachelY + 1 51316 -1.40033271 -1.23609508 -80.233154 -70.823031
    Unten rechts KachelX + 1 18163 KachelY + 1 51316 -1.40023684 -1.23609508 -80.227661 -70.823031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23606359--1.23609508) × R
    3.14899999998008e-05 × 6371000     		dl = 200.622789998731m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23606359--1.23609508) × R
    3.14899999998008e-05 × 6371000     		dr = 200.622789998731m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40033271--1.40023684) × cos(-1.23606359) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.328516752008694 × 6371000     		do = 200.654014367029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40033271--1.40023684) × cos(-1.23609508) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.328487009599269 × 6371000     		du = 200.635848067102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23606359)-sin(-1.23609508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328516752008694-0.328487009599269)×R²
    abs(-1.40023684--1.40033271)×2.97424094252152e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.97424094252152e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.97424094252152e-05×40589641000000     		ar = 40253.9459032633m²