Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18162 / 51282
↖ ↑ ↗
← S 70.761586°
W 80.233154°		 ← 201.25 m → S 70.761586°
W 80.227661°		 →
↑
201.26 m
↓
↑
201.26 m
↓
S 70.763396°
W 80.233154°		 ← 201.24 m →
40 503 m²		 S 70.763396°
W 80.227661°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277137756347656 y=0.782508850097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277137756347656 × 216)
    floor (0.277137756347656 × 65536)
    floor (18162.5)     		tx = 18162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782508850097656 × 216)
    floor (0.782508850097656 × 65536)
    floor (51282.5)     		ty = 51282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18162 / 51282 ti = "16/18162/51282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18162/51282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18162 ÷ 216
    18162 ÷ 65536     		x = 0.277130126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51282 ÷ 216
    51282 ÷ 65536     		y = 0.782501220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277130126953125 × 2 - 1) × π
    -0.44573974609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40033271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782501220703125 × 2 - 1) × π
    -0.56500244140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.77500751913144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40033271} λ = -1.40033271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77500751913144))-π/2
    2×atan(0.169482175135928)-π/2
    2×0.16788683405686-π/2
    0.335773668113719-1.57079632675     		φ = -1.23502266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40033271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.233154°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23502266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.761586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18162 KachelY 51282 -1.40033271 -1.23502266 -80.233154 -70.761586
    Oben rechts KachelX + 1 18163 KachelY 51282 -1.40023684 -1.23502266 -80.227661 -70.761586
    Unten links KachelX 18162 KachelY + 1 51283 -1.40033271 -1.23505425 -80.233154 -70.763396
    Unten rechts KachelX + 1 18163 KachelY + 1 51283 -1.40023684 -1.23505425 -80.227661 -70.763396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23502266--1.23505425) × R
    3.15899999998592e-05 × 6371000     		dl = 201.259889999103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23502266--1.23505425) × R
    3.15899999998592e-05 × 6371000     		dr = 201.259889999103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40033271--1.40023684) × cos(-1.23502266) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.32949973030425 × 6371000     		do = 201.25440548813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40033271--1.40023684) × cos(-1.23505425) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.329469904262256 × 6371000     		du = 201.236188106452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23502266)-sin(-1.23505425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32949973030425-0.329469904262256)×R²
    abs(-1.40023684--1.40033271)×2.9826041994252e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.9826041994252e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.9826041994252e-05×40589641000000     		ar = 40502.6062996586m²