Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18161 / 51311
↖ ↑ ↗
← S 70.814007°
W 80.238648°		 ← 200.75 m → S 70.814007°
W 80.233154°		 →
↑
200.69 m
↓
↑
200.69 m
↓
S 70.815812°
W 80.238648°		 ← 200.73 m →
40 286 m²		 S 70.815812°
W 80.233154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277122497558594 y=0.782951354980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277122497558594 × 216)
    floor (0.277122497558594 × 65536)
    floor (18161.5)     		tx = 18161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782951354980469 × 216)
    floor (0.782951354980469 × 65536)
    floor (51311.5)     		ty = 51311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18161 / 51311 ti = "16/18161/51311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18161/51311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18161 ÷ 216
    18161 ÷ 65536     		x = 0.277114868164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51311 ÷ 216
    51311 ÷ 65536     		y = 0.782943725585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277114868164062 × 2 - 1) × π
    -0.445770263671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.40042859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782943725585938 × 2 - 1) × π
    -0.565887451171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.7777878593094
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40042859} λ = -1.40042859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7777878593094))-π/2
    2×atan(0.169011611501571)-π/2
    2×0.167429374145422-π/2
    0.334858748290845-1.57079632675     		φ = -1.23593758
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40042859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.238648°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23593758 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.814007°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18161 KachelY 51311 -1.40042859 -1.23593758 -80.238648 -70.814007
    Oben rechts KachelX + 1 18162 KachelY 51311 -1.40033271 -1.23593758 -80.233154 -70.814007
    Unten links KachelX 18161 KachelY + 1 51312 -1.40042859 -1.23596908 -80.238648 -70.815812
    Unten rechts KachelX + 1 18162 KachelY + 1 51312 -1.40033271 -1.23596908 -80.233154 -70.815812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23593758--1.23596908) × R
    3.14999999999621e-05 × 6371000     		dl = 200.686499999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23593758--1.23596908) × R
    3.14999999999621e-05 × 6371000     		dr = 200.686499999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40042859--1.40033271) × cos(-1.23593758) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.3286357656113 × 6371000     		do = 200.747643804464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40042859--1.40033271) × cos(-1.23596908) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.328606015060954 × 6371000     		du = 200.729470636754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23593758)-sin(-1.23596908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3286357656113-0.328606015060954)×R²
    abs(-1.40033271--1.40042859)×2.97505503466522e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.97505503466522e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.97505503466522e-05×40589641000000     		ar = 40285.5184668389m²