Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18161 / 19345
↖ ↑ ↗
← S 30.911651°
E 19.522705°		 ← 1 048.12 m → S 30.911651°
E 19.533691°		 →
↑
1 048.03 m
↓
↑
1 048.03 m
↓
S 30.921076°
E 19.522705°		 ← 1 048.01 m →
1 098 405 m²		 S 30.921076°
E 19.533691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.554244995117188 y=0.590377807617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.554244995117188 × 215)
    floor (0.554244995117188 × 32768)
    floor (18161.5)     		tx = 18161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590377807617188 × 215)
    floor (0.590377807617188 × 32768)
    floor (19345.5)     		ty = 19345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18161 / 19345 ti = "15/18161/19345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18161/19345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18161 ÷ 215
    18161 ÷ 32768     		x = 0.554229736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19345 ÷ 215
    19345 ÷ 32768     		y = 0.590362548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.554229736328125 × 2 - 1) × π
    0.10845947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.34073548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590362548828125 × 2 - 1) × π
    -0.18072509765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.567764639099945
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34073548} λ = 0.34073548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.567764639099945))-π/2
    2×atan(0.566791006126177)-π/2
    2×0.515643119776282-π/2
    1.03128623955256-1.57079632675     		φ = -0.53951009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34073548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.522705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53951009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.911651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18161 KachelY 19345 0.34073548 -0.53951009 19.522705 -30.911651
    Oben rechts KachelX + 1 18162 KachelY 19345 0.34092723 -0.53951009 19.533691 -30.911651
    Unten links KachelX 18161 KachelY + 1 19346 0.34073548 -0.53967459 19.522705 -30.921076
    Unten rechts KachelX + 1 18162 KachelY + 1 19346 0.34092723 -0.53967459 19.533691 -30.921076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53951009--0.53967459) × R
    0.000164499999999901 × 6371000     		dl = 1048.02949999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53951009--0.53967459) × R
    0.000164499999999901 × 6371000     		dr = 1048.02949999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34073548-0.34092723) × cos(-0.53951009) × R
    0.000191750000000046 × 0.857960458787316 × 6371000     		do = 1048.11817140284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34073548-0.34092723) × cos(-0.53967459) × R
    0.000191750000000046 × 0.857875940941814 × 6371000     		du = 1048.01492108545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53951009)-sin(-0.53967459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857960458787316-0.857875940941814)×R²
    abs(0.34092723-0.34073548)×8.45178455013418e-05×R²
    0.000191750000000046×8.45178455013418e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.45178455013418e-05×40589641000000     		ar = 1098404.66090362m²