Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18160 / 52592
↖ ↑ ↗
← S 72.996909°
W 80.244141°		 ← 178.61 m → S 72.996909°
W 80.238648°		 →
↑
178.58 m
↓
↑
178.58 m
↓
S 72.998515°
W 80.244141°		 ← 178.59 m →
31 894 m²		 S 72.998515°
W 80.238648°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277107238769531 y=0.802497863769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277107238769531 × 216)
    floor (0.277107238769531 × 65536)
    floor (18160.5)     		tx = 18160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802497863769531 × 216)
    floor (0.802497863769531 × 65536)
    floor (52592.5)     		ty = 52592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18160 / 52592 ti = "16/18160/52592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18160/52592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18160 ÷ 216
    18160 ÷ 65536     		x = 0.277099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52592 ÷ 216
    52592 ÷ 65536     		y = 0.802490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277099609375 × 2 - 1) × π
    -0.44580078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.40052446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802490234375 × 2 - 1) × π
    -0.60498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.90060219613599
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40052446} λ = -1.40052446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90060219613599))-π/2
    2×atan(0.149478576692427)-π/2
    2×0.148379959198403-π/2
    0.296759918396806-1.57079632675     		φ = -1.27403641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40052446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.244141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27403641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.996909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18160 KachelY 52592 -1.40052446 -1.27403641 -80.244141 -72.996909
    Oben rechts KachelX + 1 18161 KachelY 52592 -1.40042859 -1.27403641 -80.238648 -72.996909
    Unten links KachelX 18160 KachelY + 1 52593 -1.40052446 -1.27406444 -80.244141 -72.998515
    Unten rechts KachelX + 1 18161 KachelY + 1 52593 -1.40042859 -1.27406444 -80.238648 -72.998515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27403641--1.27406444) × R
    2.80300000001787e-05 × 6371000     		dl = 178.579130001139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27403641--1.27406444) × R
    2.80300000001787e-05 × 6371000     		dr = 178.579130001139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40052446--1.40042859) × cos(-1.27403641) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.292423291158863 × 6371000     		do = 178.608569902979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40052446--1.40042859) × cos(-1.27406444) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.292396486263801 × 6371000     		du = 178.592197800898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27403641)-sin(-1.27406444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292423291158863-0.292396486263801)×R²
    abs(-1.40042859--1.40052446)×2.68048950626265e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.68048950626265e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.68048950626265e-05×40589641000000     		ar = 31894.3011681143m²