Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 1816 / 1399
↖ ↑ ↗
← N 75.595873°
W100.195313°		 ← 1 215.56 m → N 75.595873°
W100.151367°		 →
↑
1 216.03 m
↓
↑
1 216.03 m
↓
N 75.584937°
W100.195313°		 ← 1 216.47 m →
1 478 713 m²		 N 75.584937°
W100.151367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.22174072265625 y=0.17083740234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.22174072265625 × 213)
    floor (0.22174072265625 × 8192)
    floor (1816.5)     		tx = 1816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.17083740234375 × 213)
    floor (0.17083740234375 × 8192)
    floor (1399.5)     		ty = 1399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1816 / 1399 ti = "13/1816/1399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1816/1399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1816 ÷ 213
    1816 ÷ 8192     		x = 0.2216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1399 ÷ 213
    1399 ÷ 8192     		y = 0.1707763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2216796875 × 2 - 1) × π
    -0.556640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.74873810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1707763671875 × 2 - 1) × π
    0.658447265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.06857309240466
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74873810} λ = -1.74873810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06857309240466))-π/2
    2×atan(7.91352319144362)-π/2
    2×1.4450966083111-π/2
    2.8901932166222-1.57079632675     		φ = 1.31939689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74873810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.195313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31939689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.595873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1816 KachelY 1399 -1.74873810 1.31939689 -100.195313 75.595873
    Oben rechts KachelX + 1 1817 KachelY 1399 -1.74797111 1.31939689 -100.151367 75.595873
    Unten links KachelX 1816 KachelY + 1 1400 -1.74873810 1.31920602 -100.195313 75.584937
    Unten rechts KachelX + 1 1817 KachelY + 1 1400 -1.74797111 1.31920602 -100.151367 75.584937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31939689-1.31920602) × R
    0.000190869999999954 × 6371000     		dl = 1216.03276999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31939689-1.31920602) × R
    0.000190869999999954 × 6371000     		dr = 1216.03276999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74873810--1.74797111) × cos(1.31939689) × R
    0.000766990000000023 × 0.248759648245111 × 6371000     		do = 1215.56235197253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74873810--1.74797111) × cos(1.31920602) × R
    0.000766990000000023 × 0.248944513761329 × 6371000     		du = 1216.46569607708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31939689)-sin(1.31920602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.248759648245111-0.248944513761329)×R²
    abs(-1.74797111--1.74873810)×0.000184865516217908×R²
    0.000766990000000023×0.000184865516217908×6371000²
    0.000766990000000023×0.000184865516217908×40589641000000     		ar = 1478712.90648557m²