Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18159 / 52305
↖ ↑ ↗
← S 72.529779°
W 80.249634°		 ← 183.36 m → S 72.529779°
W 80.244141°		 →
↑
183.36 m
↓
↑
183.36 m
↓
S 72.531428°
W 80.249634°		 ← 183.35 m →
33 620 m²		 S 72.531428°
W 80.244141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277091979980469 y=0.798118591308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277091979980469 × 216)
    floor (0.277091979980469 × 65536)
    floor (18159.5)     		tx = 18159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.798118591308594 × 216)
    floor (0.798118591308594 × 65536)
    floor (52305.5)     		ty = 52305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18159 / 52305 ti = "16/18159/52305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18159/52305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18159 ÷ 216
    18159 ÷ 65536     		x = 0.277084350585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52305 ÷ 216
    52305 ÷ 65536     		y = 0.798110961914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277084350585938 × 2 - 1) × π
    -0.445831298828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.40062033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.798110961914062 × 2 - 1) × π
    -0.596221923828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.87308641575407
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40062033} λ = -1.40062033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87308641575407))-π/2
    2×atan(0.153648705450667)-π/2
    2×0.152456439559145-π/2
    0.30491287911829-1.57079632675     		φ = -1.26588345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40062033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.249634°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26588345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.529779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18159 KachelY 52305 -1.40062033 -1.26588345 -80.249634 -72.529779
    Oben rechts KachelX + 1 18160 KachelY 52305 -1.40052446 -1.26588345 -80.244141 -72.529779
    Unten links KachelX 18159 KachelY + 1 52306 -1.40062033 -1.26591223 -80.249634 -72.531428
    Unten rechts KachelX + 1 18160 KachelY + 1 52306 -1.40052446 -1.26591223 -80.244141 -72.531428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26588345--1.26591223) × R
    2.87800000000615e-05 × 6371000     		dl = 183.357380000392m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26588345--1.26591223) × R
    2.87800000000615e-05 × 6371000     		dr = 183.357380000392m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40062033--1.40052446) × cos(-1.26588345) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.300210071866 × 6371000     		do = 183.36464032657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40062033--1.40052446) × cos(-1.26591223) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.300182619273526 × 6371000     		du = 183.347872618832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26588345)-sin(-1.26591223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300210071866-0.300182619273526)×R²
    abs(-1.40052446--1.40062033)×2.74525924741087e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.74525924741087e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.74525924741087e-05×40589641000000     		ar = 33619.7227957555m²