Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18157 / 52297
↖ ↑ ↗
← S 72.516582°
W 80.260620°		 ← 183.50 m → S 72.516582°
W 80.255127°		 →
↑
183.48 m
↓
↑
183.48 m
↓
S 72.518232°
W 80.260620°		 ← 183.48 m →
33 668 m²		 S 72.518232°
W 80.255127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277061462402344 y=0.797996520996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277061462402344 × 216)
    floor (0.277061462402344 × 65536)
    floor (18157.5)     		tx = 18157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797996520996094 × 216)
    floor (0.797996520996094 × 65536)
    floor (52297.5)     		ty = 52297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18157 / 52297 ti = "16/18157/52297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18157/52297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18157 ÷ 216
    18157 ÷ 65536     		x = 0.277053833007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52297 ÷ 216
    52297 ÷ 65536     		y = 0.797988891601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277053833007812 × 2 - 1) × π
    -0.445892333984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40081208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.797988891601562 × 2 - 1) × π
    -0.595977783203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.87231942536015
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40081208} λ = -1.40081208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87231942536015))-π/2
    2×atan(0.153766597737132)-π/2
    2×0.152571610804784-π/2
    0.305143221609569-1.57079632675     		φ = -1.26565311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40081208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.260620°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26565311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.516582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18157 KachelY 52297 -1.40081208 -1.26565311 -80.260620 -72.516582
    Oben rechts KachelX + 1 18158 KachelY 52297 -1.40071621 -1.26565311 -80.255127 -72.516582
    Unten links KachelX 18157 KachelY + 1 52298 -1.40081208 -1.26568191 -80.260620 -72.518232
    Unten rechts KachelX + 1 18158 KachelY + 1 52298 -1.40071621 -1.26568191 -80.255127 -72.518232
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26565311--1.26568191) × R
    2.8800000000162e-05 × 6371000     		dl = 183.484800001032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26565311--1.26568191) × R
    2.8800000000162e-05 × 6371000     		dr = 183.484800001032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40081208--1.40071621) × cos(-1.26565311) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.300429779032499 × 6371000     		do = 183.498834776849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40081208--1.40071621) × cos(-1.26568191) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.300402309354559 × 6371000     		du = 183.482056633517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26565311)-sin(-1.26568191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300429779032499-0.300402309354559)×R²
    abs(-1.40071621--1.40081208)×2.74696779404837e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.74696779404837e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.74696779404837e-05×40589641000000     		ar = 33667.7077343214m²