Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18156 / 51388
↖ ↑ ↗
← S 70.952528°
W 80.266113°		 ← 199.33 m → S 70.952528°
W 80.260620°		 →
↑
199.35 m
↓
↑
199.35 m
↓
S 70.954320°
W 80.266113°		 ← 199.31 m →
39 735 m²		 S 70.954320°
W 80.260620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277046203613281 y=0.784126281738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277046203613281 × 216)
    floor (0.277046203613281 × 65536)
    floor (18156.5)     		tx = 18156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784126281738281 × 216)
    floor (0.784126281738281 × 65536)
    floor (51388.5)     		ty = 51388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18156 / 51388 ti = "16/18156/51388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18156/51388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18156 ÷ 216
    18156 ÷ 65536     		x = 0.27703857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51388 ÷ 216
    51388 ÷ 65536     		y = 0.78411865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27703857421875 × 2 - 1) × π
    -0.4459228515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40090795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78411865234375 × 2 - 1) × π
    -0.5682373046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.78517014185089
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40090795} λ = -1.40090795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78517014185089))-π/2
    2×atan(0.167768514126231)-π/2
    2×0.166220553281949-π/2
    0.332441106563898-1.57079632675     		φ = -1.23835522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40090795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.266113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23835522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.952528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18156 KachelY 51388 -1.40090795 -1.23835522 -80.266113 -70.952528
    Oben rechts KachelX + 1 18157 KachelY 51388 -1.40081208 -1.23835522 -80.260620 -70.952528
    Unten links KachelX 18156 KachelY + 1 51389 -1.40090795 -1.23838651 -80.266113 -70.954320
    Unten rechts KachelX + 1 18157 KachelY + 1 51389 -1.40081208 -1.23838651 -80.260620 -70.954320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23835522--1.23838651) × R
    3.12899999999061e-05 × 6371000     		dl = 199.348589999402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23835522--1.23838651) × R
    3.12899999999061e-05 × 6371000     		dr = 199.348589999402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40090795--1.40081208) × cos(-1.23835522) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.326351451008196 × 6371000     		do = 199.331474997556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40090795--1.40081208) × cos(-1.23838651) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.326321874022815 × 6371000     		du = 199.313409736612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23835522)-sin(-1.23838651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326351451008196-0.326321874022815)×R²
    abs(-1.40081208--1.40090795)×2.9576985380364e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.9576985380364e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.9576985380364e-05×40589641000000     		ar = 39734.6478442062m²