Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18155 / 51286
↖ ↑ ↗
← S 70.768825°
W 80.271607°		 ← 201.20 m → S 70.768825°
W 80.266113°		 →
↑
201.13 m
↓
↑
201.13 m
↓
S 70.770634°
W 80.271607°		 ← 201.18 m →
40 467 m²		 S 70.770634°
W 80.266113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277030944824219 y=0.782569885253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277030944824219 × 216)
    floor (0.277030944824219 × 65536)
    floor (18155.5)     		tx = 18155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782569885253906 × 216)
    floor (0.782569885253906 × 65536)
    floor (51286.5)     		ty = 51286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18155 / 51286 ti = "16/18155/51286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18155/51286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18155 ÷ 216
    18155 ÷ 65536     		x = 0.277023315429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51286 ÷ 216
    51286 ÷ 65536     		y = 0.782562255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277023315429688 × 2 - 1) × π
    -0.445953369140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40100383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782562255859375 × 2 - 1) × π
    -0.56512451171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.7753910143284
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40100383} λ = -1.40100383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7753910143284))-π/2
    2×atan(0.16941719199695)-π/2
    2×0.167823664711645-π/2
    0.33564732942329-1.57079632675     		φ = -1.23514900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40100383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.271607°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23514900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.768825°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18155 KachelY 51286 -1.40100383 -1.23514900 -80.271607 -70.768825
    Oben rechts KachelX + 1 18156 KachelY 51286 -1.40090795 -1.23514900 -80.266113 -70.768825
    Unten links KachelX 18155 KachelY + 1 51287 -1.40100383 -1.23518057 -80.271607 -70.770634
    Unten rechts KachelX + 1 18156 KachelY + 1 51287 -1.40090795 -1.23518057 -80.266113 -70.770634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23514900--1.23518057) × R
    3.15699999999808e-05 × 6371000     		dl = 201.132469999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23514900--1.23518057) × R
    3.15699999999808e-05 × 6371000     		dr = 201.132469999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40100383--1.40090795) × cos(-1.23514900) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.329380443047614 × 6371000     		do = 201.202531119025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40100383--1.40090795) × cos(-1.23518057) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.329350634575011 × 6371000     		du = 201.184322569419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23514900)-sin(-1.23518057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329380443047614-0.329350634575011)×R²
    abs(-1.40090795--1.40100383)×2.98084726029213e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.98084726029213e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.98084726029213e-05×40589641000000     		ar = 40466.530892124m²