Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18153 / 52311
↖ ↑ ↗
← S 72.539671°
W 80.282593°		 ← 183.28 m → S 72.539671°
W 80.277099°		 →
↑
183.29 m
↓
↑
183.29 m
↓
S 72.541319°
W 80.282593°		 ← 183.27 m →
33 593 m²		 S 72.541319°
W 80.277099°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277000427246094 y=0.798210144042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277000427246094 × 216)
    floor (0.277000427246094 × 65536)
    floor (18153.5)     		tx = 18153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.798210144042969 × 216)
    floor (0.798210144042969 × 65536)
    floor (52311.5)     		ty = 52311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18153 / 52311 ti = "16/18153/52311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18153/52311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18153 ÷ 216
    18153 ÷ 65536     		x = 0.276992797851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52311 ÷ 216
    52311 ÷ 65536     		y = 0.798202514648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276992797851562 × 2 - 1) × π
    -0.446014404296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.40119558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.798202514648438 × 2 - 1) × π
    -0.596405029296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.87366165854951
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40119558} λ = -1.40119558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87366165854951))-π/2
    2×atan(0.153560345556461)-π/2
    2×0.152370116403753-π/2
    0.304740232807506-1.57079632675     		φ = -1.26605609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40119558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.282593°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26605609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.539671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18153 KachelY 52311 -1.40119558 -1.26605609 -80.282593 -72.539671
    Oben rechts KachelX + 1 18154 KachelY 52311 -1.40109970 -1.26605609 -80.277099 -72.539671
    Unten links KachelX 18153 KachelY + 1 52312 -1.40119558 -1.26608486 -80.282593 -72.541319
    Unten rechts KachelX + 1 18154 KachelY + 1 52312 -1.40109970 -1.26608486 -80.277099 -72.541319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26605609--1.26608486) × R
    2.87700000001223e-05 × 6371000     		dl = 183.293670000779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26605609--1.26608486) × R
    2.87700000001223e-05 × 6371000     		dr = 183.293670000779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40119558--1.40109970) × cos(-1.26605609) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.300045390739041 × 6371000     		do = 183.283171000002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40119558--1.40109970) × cos(-1.26608486) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.300017946194763 × 6371000     		du = 183.266406459511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26605609)-sin(-1.26608486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300045390739041-0.300017946194763)×R²
    abs(-1.40109970--1.40119558)×2.74445442787763e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.74445442787763e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.74445442787763e-05×40589641000000     		ar = 33593.1086473189m²