Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1815 / 2707
↖ ↑ ↗
← S 50.007739°
W 20.478515°		 ← 6 280.94 m → S 50.007739°
W 20.390625°		 →
↑
6 277.22 m
↓
↑
6 277.22 m
↓
S 50.064192°
W 20.478515°		 ← 6 273.56 m →
39 403 696 m²		 S 50.064192°
W 20.390625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4432373046875 y=0.6610107421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4432373046875 × 212)
    floor (0.4432373046875 × 4096)
    floor (1815.5)     		tx = 1815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6610107421875 × 212)
    floor (0.6610107421875 × 4096)
    floor (2707.5)     		ty = 2707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1815 / 2707 ti = "12/1815/2707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1815/2707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1815 ÷ 212
    1815 ÷ 4096     		x = 0.443115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2707 ÷ 212
    2707 ÷ 4096     		y = 0.660888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443115234375 × 2 - 1) × π
    -0.11376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35741752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660888671875 × 2 - 1) × π
    -0.32177734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.01089333918774
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35741752} λ = -0.35741752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01089333918774))-π/2
    2×atan(0.363893753774256)-π/2
    2×0.348998314765014-π/2
    0.697996629530028-1.57079632675     		φ = -0.87279970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35741752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.478515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87279970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.007739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1815 KachelY 2707 -0.35741752 -0.87279970 -20.478515 -50.007739
    Oben rechts KachelX + 1 1816 KachelY 2707 -0.35588354 -0.87279970 -20.390625 -50.007739
    Unten links KachelX 1815 KachelY + 1 2708 -0.35741752 -0.87378498 -20.478515 -50.064192
    Unten rechts KachelX + 1 1816 KachelY + 1 2708 -0.35588354 -0.87378498 -20.390625 -50.064192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87279970--0.87378498) × R
    0.000985280000000088 × 6371000     		dl = 6277.21888000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87279970--0.87378498) × R
    0.000985280000000088 × 6371000     		dr = 6277.21888000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35741752--0.35588354) × cos(-0.87279970) × R
    0.00153397999999999 × 0.642684131133747 × 6371000     		do = 6280.94338874903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35741752--0.35588354) × cos(-0.87378498) × R
    0.00153397999999999 × 0.641928965496643 × 6371000     		du = 6273.56316511194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87279970)-sin(-0.87378498))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642684131133747-0.641928965496643)×R²
    abs(-0.35588354--0.35741752)×0.000755165637103761×R²
    0.00153397999999999×0.000755165637103761×6371000²
    0.00153397999999999×0.000755165637103761×40589641000000     		ar = 39403695.9721789m²