Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18149 / 52310
↖ ↑ ↗
← S 72.538023°
W 80.304565°		 ← 183.28 m → S 72.538023°
W 80.299072°		 →
↑
183.23 m
↓
↑
183.23 m
↓
S 72.539671°
W 80.304565°		 ← 183.26 m →
33 581 m²		 S 72.539671°
W 80.299072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276939392089844 y=0.798194885253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276939392089844 × 216)
    floor (0.276939392089844 × 65536)
    floor (18149.5)     		tx = 18149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.798194885253906 × 216)
    floor (0.798194885253906 × 65536)
    floor (52310.5)     		ty = 52310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18149 / 52310 ti = "16/18149/52310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18149/52310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18149 ÷ 216
    18149 ÷ 65536     		x = 0.276931762695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52310 ÷ 216
    52310 ÷ 65536     		y = 0.798187255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276931762695312 × 2 - 1) × π
    -0.446136474609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40157907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.798187255859375 × 2 - 1) × π
    -0.59637451171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.87356578475027
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40157907} λ = -1.40157907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87356578475027))-π/2
    2×atan(0.153575068675971)-π/2
    2×0.152384500307086-π/2
    0.304769000614172-1.57079632675     		φ = -1.26602733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40157907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.304565°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26602733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.538023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18149 KachelY 52310 -1.40157907 -1.26602733 -80.304565 -72.538023
    Oben rechts KachelX + 1 18150 KachelY 52310 -1.40148320 -1.26602733 -80.299072 -72.538023
    Unten links KachelX 18149 KachelY + 1 52311 -1.40157907 -1.26605609 -80.304565 -72.539671
    Unten rechts KachelX + 1 18150 KachelY + 1 52311 -1.40148320 -1.26605609 -80.299072 -72.539671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26602733--1.26605609) × R
    2.8759999999961e-05 × 6371000     		dl = 183.229959999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26602733--1.26605609) × R
    2.8759999999961e-05 × 6371000     		dr = 183.229959999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40157907--1.40148320) × cos(-1.26602733) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.300072825495806 × 6371000     		do = 183.280811922178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40157907--1.40148320) × cos(-1.26605609) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.300045390739041 × 6371000     		du = 183.264055108274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26602733)-sin(-1.26605609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300072825495806-0.300045390739041)×R²
    abs(-1.40148320--1.40157907)×2.74347567642552e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.74347567642552e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.74347567642552e-05×40589641000000     		ar = 33581.0006640899m²