Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18148 / 24024
↖ ↑ ↗
← S 63.975961°
E 19.379883°		 ← 535.99 m → S 63.975961°
E 19.390869°		 →
↑
535.93 m
↓
↑
535.93 m
↓
S 63.980781°
E 19.379883°		 ← 535.90 m →
287 229 m²		 S 63.980781°
E 19.390869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.553848266601562 y=0.733169555664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.553848266601562 × 215)
    floor (0.553848266601562 × 32768)
    floor (18148.5)     		tx = 18148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733169555664062 × 215)
    floor (0.733169555664062 × 32768)
    floor (24024.5)     		ty = 24024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18148 / 24024 ti = "15/18148/24024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18148/24024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18148 ÷ 215
    18148 ÷ 32768     		x = 0.5538330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24024 ÷ 215
    24024 ÷ 32768     		y = 0.733154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5538330078125 × 2 - 1) × π
    0.107666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.33824276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733154296875 × 2 - 1) × π
    -0.46630859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.46495165238892
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33824276} λ = 0.33824276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46495165238892))-π/2
    2×atan(0.231089163816268)-π/2
    2×0.227102583410416-π/2
    0.454205166820833-1.57079632675     		φ = -1.11659116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33824276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.379883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11659116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.975961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18148 KachelY 24024 0.33824276 -1.11659116 19.379883 -63.975961
    Oben rechts KachelX + 1 18149 KachelY 24024 0.33843451 -1.11659116 19.390869 -63.975961
    Unten links KachelX 18148 KachelY + 1 24025 0.33824276 -1.11667528 19.379883 -63.980781
    Unten rechts KachelX + 1 18149 KachelY + 1 24025 0.33843451 -1.11667528 19.390869 -63.980781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11659116--1.11667528) × R
    8.41199999999098e-05 × 6371000     		dl = 535.928519999425m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11659116--1.11667528) × R
    8.41199999999098e-05 × 6371000     		dr = 535.928519999425m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33824276-0.33843451) × cos(-1.11659116) × R
    0.000191750000000046 × 0.438748207371673 × 6371000     		do = 535.992030992504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33824276-0.33843451) × cos(-1.11667528) × R
    0.000191750000000046 × 0.438672614742562 × 6371000     		du = 535.899684069771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11659116)-sin(-1.11667528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438748207371673-0.438672614742562)×R²
    abs(0.33843451-0.33824276)×7.55926291110542e-05×R²
    0.000191750000000046×7.55926291110542e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.55926291110542e-05×40589641000000     		ar = 287228.670395941m²