Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 18147 / 9380
↖ ↑ ↗
← N 82.248374°
W130.157776°		 ← 41.20 m → N 82.248374°
W130.155029°		 →
↑
41.22 m
↓
↑
41.22 m
↓
N 82.248003°
W130.157776°		 ← 41.20 m →
1 698 m²		 N 82.248003°
W130.155029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138454437255859 y=0.0715675354003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138454437255859 × 217)
    floor (0.138454437255859 × 131072)
    floor (18147.5)     		tx = 18147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0715675354003906 × 217)
    floor (0.0715675354003906 × 131072)
    floor (9380.5)     		ty = 9380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18147 / 9380 ti = "17/18147/9380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18147/9380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18147 ÷ 217
    18147 ÷ 131072     		x = 0.138450622558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9380 ÷ 217
    9380 ÷ 131072     		y = 0.071563720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138450622558594 × 2 - 1) × π
    -0.723098754882812 × 3.1415926535     		Λ = -2.27168174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.071563720703125 × 2 - 1) × π
    0.85687255859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.69194453506387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27168174} λ = -2.27168174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69194453506387))-π/2
    2×atan(14.7603500507101)-π/2
    2×1.50315062615464-π/2
    3.00630125230928-1.57079632675     		φ = 1.43550493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27168174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.157776°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43550493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.248374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18147 KachelY 9380 -2.27168174 1.43550493 -130.157776 82.248374
    Oben rechts KachelX + 1 18148 KachelY 9380 -2.27163380 1.43550493 -130.155029 82.248374
    Unten links KachelX 18147 KachelY + 1 9381 -2.27168174 1.43549846 -130.157776 82.248003
    Unten rechts KachelX + 1 18148 KachelY + 1 9381 -2.27163380 1.43549846 -130.155029 82.248003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43550493-1.43549846) × R
    6.46999999998066e-06 × 6371000     		dl = 41.2203699998768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43550493-1.43549846) × R
    6.46999999998066e-06 × 6371000     		dr = 41.2203699998768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27168174--2.27163380) × cos(1.43550493) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.134879050761061 × 6371000     		do = 41.1955338891677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27168174--2.27163380) × cos(1.43549846) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.134885461635831 × 6371000     		du = 41.1974919353382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43550493)-sin(1.43549846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134879050761061-0.134885461635831)×R²
    abs(-2.27163380--2.27168174)×6.4108747694358e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.4108747694358e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.4108747694358e-06×40589641000000     		ar = 1698.13550493567m²