Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18142 / 9506
↖ ↑ ↗
← N 82.201556°
W130.171509°		 ← 41.44 m → N 82.201556°
W130.168762°		 →
↑
41.48 m
↓
↑
41.48 m
↓
N 82.201183°
W130.171509°		 ← 41.44 m →
1 719 m²		 N 82.201183°
W130.168762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138416290283203 y=0.0725288391113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138416290283203 × 217)
    floor (0.138416290283203 × 131072)
    floor (18142.5)     		tx = 18142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0725288391113281 × 217)
    floor (0.0725288391113281 × 131072)
    floor (9506.5)     		ty = 9506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18142 / 9506 ti = "17/18142/9506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18142/9506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18142 ÷ 217
    18142 ÷ 131072     		x = 0.138412475585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9506 ÷ 217
    9506 ÷ 131072     		y = 0.0725250244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138412475585938 × 2 - 1) × π
    -0.723175048828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.27192142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0725250244140625 × 2 - 1) × π
    0.854949951171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.68590448571175
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27192142} λ = -2.27192142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.68590448571175))-π/2
    2×atan(14.6714655116754)-π/2
    2×1.50274206675986-π/2
    3.00548413351972-1.57079632675     		φ = 1.43468781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27192142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.171509°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43468781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.201556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18142 KachelY 9506 -2.27192142 1.43468781 -130.171509 82.201556
    Oben rechts KachelX + 1 18143 KachelY 9506 -2.27187348 1.43468781 -130.168762 82.201556
    Unten links KachelX 18142 KachelY + 1 9507 -2.27192142 1.43468130 -130.171509 82.201183
    Unten rechts KachelX + 1 18143 KachelY + 1 9507 -2.27187348 1.43468130 -130.168762 82.201183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43468781-1.43468130) × R
    6.5099999999596e-06 × 6371000     		dl = 41.4752099997426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43468781-1.43468130) × R
    6.5099999999596e-06 × 6371000     		dr = 41.4752099997426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27192142--2.27187348) × cos(1.43468781) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.135688658857197 × 6371000     		do = 41.4428090410397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27192142--2.27187348) × cos(1.43468130) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.135695108646761 × 6371000     		du = 41.4447789727902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43468781)-sin(1.43468130))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.135688658857197-0.135695108646761)×R²
    abs(-2.27187348--2.27192142)×6.44978956412801e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.44978956412801e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.44978956412801e-06×40589641000000     		ar = 1718.89005970353m²