Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18141 / 9504
↖ ↑ ↗
← N 82.202302°
W130.174256°		 ← 41.44 m → N 82.202302°
W130.171509°		 →
↑
41.48 m
↓
↑
41.48 m
↓
N 82.201929°
W130.174256°		 ← 41.44 m →
1 719 m²		 N 82.201929°
W130.171509°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138408660888672 y=0.0725135803222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138408660888672 × 217)
    floor (0.138408660888672 × 131072)
    floor (18141.5)     		tx = 18141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0725135803222656 × 217)
    floor (0.0725135803222656 × 131072)
    floor (9504.5)     		ty = 9504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18141 / 9504 ti = "17/18141/9504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18141/9504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18141 ÷ 217
    18141 ÷ 131072     		x = 0.138404846191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9504 ÷ 217
    9504 ÷ 131072     		y = 0.072509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138404846191406 × 2 - 1) × π
    -0.723190307617188 × 3.1415926535     		Λ = -2.27196936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.072509765625 × 2 - 1) × π
    0.85498046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.68600035951099
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27196936} λ = -2.27196936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.68600035951099))-π/2
    2×atan(14.6728721882451)-π/2
    2×1.50274857094472-π/2
    3.00549714188945-1.57079632675     		φ = 1.43470082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27196936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.174256°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43470082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.202302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18141 KachelY 9504 -2.27196936 1.43470082 -130.174256 82.202302
    Oben rechts KachelX + 1 18142 KachelY 9504 -2.27192142 1.43470082 -130.171509 82.202302
    Unten links KachelX 18141 KachelY + 1 9505 -2.27196936 1.43469431 -130.174256 82.201929
    Unten rechts KachelX + 1 18142 KachelY + 1 9505 -2.27192142 1.43469431 -130.171509 82.201929
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43470082-1.43469431) × R
    6.5099999999596e-06 × 6371000     		dl = 41.4752099997426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43470082-1.43469431) × R
    6.5099999999596e-06 × 6371000     		dr = 41.4752099997426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27196936--2.27192142) × cos(1.43470082) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.13567576916835 × 6371000     		do = 41.4388721982853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27196936--2.27192142) × cos(1.43469431) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.135682218969406 × 6371000     		du = 41.4408421335457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43470082)-sin(1.43469431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.13567576916835-0.135682218969406)×R²
    abs(-2.27192142--2.27196936)×6.44980105601878e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.44980105601878e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.44980105601878e-06×40589641000000     		ar = 1718.72677831761m²