Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18141 / 19284
↖ ↑ ↗
← S 30.334954°
E 19.302978°		 ← 1 054.38 m → S 30.334954°
E 19.313965°		 →
↑
1 054.34 m
↓
↑
1 054.34 m
↓
S 30.344436°
E 19.302978°		 ← 1 054.28 m →
1 111 620 m²		 S 30.344436°
E 19.313965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.553634643554688 y=0.588516235351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.553634643554688 × 215)
    floor (0.553634643554688 × 32768)
    floor (18141.5)     		tx = 18141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588516235351562 × 215)
    floor (0.588516235351562 × 32768)
    floor (19284.5)     		ty = 19284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18141 / 19284 ti = "15/18141/19284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18141/19284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18141 ÷ 215
    18141 ÷ 32768     		x = 0.553619384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19284 ÷ 215
    19284 ÷ 32768     		y = 0.5885009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.553619384765625 × 2 - 1) × π
    0.10723876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.33690053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5885009765625 × 2 - 1) × π
    -0.177001953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.556068035592651
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33690053} λ = 0.33690053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.556068035592651))-π/2
    2×atan(0.573459458894311)-π/2
    2×0.520675751563639-π/2
    1.04135150312728-1.57079632675     		φ = -0.52944482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33690053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.302978°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52944482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.334954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18141 KachelY 19284 0.33690053 -0.52944482 19.302978 -30.334954
    Oben rechts KachelX + 1 18142 KachelY 19284 0.33709228 -0.52944482 19.313965 -30.334954
    Unten links KachelX 18141 KachelY + 1 19285 0.33690053 -0.52961031 19.302978 -30.344436
    Unten rechts KachelX + 1 18142 KachelY + 1 19285 0.33709228 -0.52961031 19.313965 -30.344436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52944482--0.52961031) × R
    0.00016548999999999 × 6371000     		dl = 1054.33678999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52944482--0.52961031) × R
    0.00016548999999999 × 6371000     		dr = 1054.33678999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33690053-0.33709228) × cos(-0.52944482) × R
    0.000191750000000046 × 0.863087599531434 × 6371000     		do = 1054.38168777614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33690053-0.33709228) × cos(-0.52961031) × R
    0.000191750000000046 × 0.863004006285304 × 6371000     		du = 1054.27956698563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52944482)-sin(-0.52961031))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863087599531434-0.863004006285304)×R²
    abs(0.33709228-0.33690053)×8.35932461302757e-05×R²
    0.000191750000000046×8.35932461302757e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.35932461302757e-05×40589641000000     		ar = 1111619.57180907m²