Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18141 / 14172
↖ ↑ ↗
← N 80.255251°
W130.174256°		 ← 51.70 m → N 80.255251°
W130.171509°		 →
↑
51.73 m
↓
↑
51.73 m
↓
N 80.254786°
W130.174256°		 ← 51.70 m →
2 674 m²		 N 80.254786°
W130.171509°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138408660888672 y=0.108127593994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138408660888672 × 217)
    floor (0.138408660888672 × 131072)
    floor (18141.5)     		tx = 18141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108127593994141 × 217)
    floor (0.108127593994141 × 131072)
    floor (14172.5)     		ty = 14172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18141 / 14172 ti = "17/18141/14172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18141/14172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18141 ÷ 217
    18141 ÷ 131072     		x = 0.138404846191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14172 ÷ 217
    14172 ÷ 131072     		y = 0.108123779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138404846191406 × 2 - 1) × π
    -0.723190307617188 × 3.1415926535     		Λ = -2.27196936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108123779296875 × 2 - 1) × π
    0.78375244140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.46223091208456
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27196936} λ = -2.27196936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46223091208456))-π/2
    2×atan(11.7309530944056)-π/2
    2×1.48575734605063-π/2
    2.97151469210126-1.57079632675     		φ = 1.40071837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27196936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.174256°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40071837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.255251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18141 KachelY 14172 -2.27196936 1.40071837 -130.174256 80.255251
    Oben rechts KachelX + 1 18142 KachelY 14172 -2.27192142 1.40071837 -130.171509 80.255251
    Unten links KachelX 18141 KachelY + 1 14173 -2.27196936 1.40071025 -130.174256 80.254786
    Unten rechts KachelX + 1 18142 KachelY + 1 14173 -2.27192142 1.40071025 -130.171509 80.254786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40071837-1.40071025) × R
    8.12000000016688e-06 × 6371000     		dl = 51.7325200010632m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40071837-1.40071025) × R
    8.12000000016688e-06 × 6371000     		dr = 51.7325200010632m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27196936--2.27192142) × cos(1.40071837) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.169259181582363 × 6371000     		do = 51.6961107865536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27196936--2.27192142) × cos(1.40071025) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.169267184417972 × 6371000     		du = 51.6985550585416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40071837)-sin(1.40071025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169259181582363-0.169267184417972)×R²
    abs(-2.27192142--2.27196936)×8.00283560908888e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.00283560908888e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.00283560908888e-06×40589641000000     		ar = 2674.43330955971m²