Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18140 / 52607
↖ ↑ ↗
← S 73.020988°
W 80.354004°		 ← 178.38 m → S 73.020988°
W 80.348511°		 →
↑
178.32 m
↓
↑
178.32 m
↓
S 73.022592°
W 80.354004°		 ← 178.37 m →
31 808 m²		 S 73.022592°
W 80.348511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276802062988281 y=0.802726745605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276802062988281 × 216)
    floor (0.276802062988281 × 65536)
    floor (18140.5)     		tx = 18140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802726745605469 × 216)
    floor (0.802726745605469 × 65536)
    floor (52607.5)     		ty = 52607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18140 / 52607 ti = "16/18140/52607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18140/52607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18140 ÷ 216
    18140 ÷ 65536     		x = 0.27679443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52607 ÷ 216
    52607 ÷ 65536     		y = 0.802719116210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27679443359375 × 2 - 1) × π
    -0.4464111328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.40244194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802719116210938 × 2 - 1) × π
    -0.605438232421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.90204030312459
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40244194} λ = -1.40244194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90204030312459))-π/2
    2×atan(0.149263765004756)-π/2
    2×0.148169835733001-π/2
    0.296339671466002-1.57079632675     		φ = -1.27445666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40244194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.354004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27445666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.020988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18140 KachelY 52607 -1.40244194 -1.27445666 -80.354004 -73.020988
    Oben rechts KachelX + 1 18141 KachelY 52607 -1.40234606 -1.27445666 -80.348511 -73.020988
    Unten links KachelX 18140 KachelY + 1 52608 -1.40244194 -1.27448465 -80.354004 -73.022592
    Unten rechts KachelX + 1 18141 KachelY + 1 52608 -1.40234606 -1.27448465 -80.348511 -73.022592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27445666--1.27448465) × R
    2.79899999999778e-05 × 6371000     		dl = 178.324289999858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27445666--1.27448465) × R
    2.79899999999778e-05 × 6371000     		dr = 178.324289999858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40244194--1.40234606) × cos(-1.27445666) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.292021384903187 × 6371000     		do = 178.381695160058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40244194--1.40234606) × cos(-1.27448465) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.291994614822817 × 6371000     		du = 178.365342616844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27445666)-sin(-1.27448465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292021384903187-0.291994614822817)×R²
    abs(-1.40234606--1.40244194)×2.67700803702753e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.67700803702753e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.67700803702753e-05×40589641000000     		ar = 31808.3311125475m²