Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1814 / 877
↖ ↑ ↗
← N 71.159391°
W 20.566406°		 ← 3 156.05 m → N 71.159391°
W 20.478515°		 →
↑
3 158.30 m
↓
↑
3 158.30 m
↓
N 71.130988°
W 20.566406°		 ← 3 160.64 m →
9 974 995 m²		 N 71.130988°
W 20.478515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4429931640625 y=0.2142333984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4429931640625 × 212)
    floor (0.4429931640625 × 4096)
    floor (1814.5)     		tx = 1814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2142333984375 × 212)
    floor (0.2142333984375 × 4096)
    floor (877.5)     		ty = 877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1814 / 877 ti = "12/1814/877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1814/877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1814 ÷ 212
    1814 ÷ 4096     		x = 0.44287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 877 ÷ 212
    877 ÷ 4096     		y = 0.214111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44287109375 × 2 - 1) × π
    -0.1142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35895150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214111328125 × 2 - 1) × π
    0.57177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.79629150256274
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35895150} λ = -0.35895150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79629150256274))-π/2
    2×atan(6.02725391117705)-π/2
    2×1.40638100035856-π/2
    2.81276200071712-1.57079632675     		φ = 1.24196567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35895150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.566406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24196567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.159391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1814 KachelY 877 -0.35895150 1.24196567 -20.566406 71.159391
    Oben rechts KachelX + 1 1815 KachelY 877 -0.35741752 1.24196567 -20.478515 71.159391
    Unten links KachelX 1814 KachelY + 1 878 -0.35895150 1.24146994 -20.566406 71.130988
    Unten rechts KachelX + 1 1815 KachelY + 1 878 -0.35741752 1.24146994 -20.478515 71.130988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24196567-1.24146994) × R
    0.000495729999999917 × 6371000     		dl = 3158.29582999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24196567-1.24146994) × R
    0.000495729999999917 × 6371000     		dr = 3158.29582999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35895150--0.35741752) × cos(1.24196567) × R
    0.00153397999999999 × 0.322936558918546 × 6371000     		do = 3156.05465650231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35895150--0.35741752) × cos(1.24146994) × R
    0.00153397999999999 × 0.323405688309846 × 6371000     		du = 3160.63945174776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24196567)-sin(1.24146994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322936558918546-0.323405688309846)×R²
    abs(-0.35741752--0.35895150)×0.00046912939129945×R²
    0.00153397999999999×0.00046912939129945×6371000²
    0.00153397999999999×0.00046912939129945×40589641000000     		ar = 9974994.53501401m²