Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18139 / 52591
↖ ↑ ↗
← S 72.995303°
W 80.359497°		 ← 178.62 m → S 72.995303°
W 80.354004°		 →
↑
178.64 m
↓
↑
178.64 m
↓
S 72.996909°
W 80.359497°		 ← 178.61 m →
31 909 m²		 S 72.996909°
W 80.354004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18139 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276786804199219 y=0.802482604980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276786804199219 × 216)
    floor (0.276786804199219 × 65536)
    floor (18139.5)     		tx = 18139
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802482604980469 × 216)
    floor (0.802482604980469 × 65536)
    floor (52591.5)     		ty = 52591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18139 / 52591 ti = "16/18139/52591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18139/52591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18139 ÷ 216
    18139 ÷ 65536     		x = 0.276779174804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52591 ÷ 216
    52591 ÷ 65536     		y = 0.802474975585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276779174804688 × 2 - 1) × π
    -0.446441650390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40253781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802474975585938 × 2 - 1) × π
    -0.604949951171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.90050632233675
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40253781} λ = -1.40253781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90050632233675))-π/2
    2×atan(0.149492908458489)-π/2
    2×0.148393977707049-π/2
    0.296787955414099-1.57079632675     		φ = -1.27400837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40253781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.359497°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27400837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.995303°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18139 KachelY 52591 -1.40253781 -1.27400837 -80.359497 -72.995303
    Oben rechts KachelX + 1 18140 KachelY 52591 -1.40244194 -1.27400837 -80.354004 -72.995303
    Unten links KachelX 18139 KachelY + 1 52592 -1.40253781 -1.27403641 -80.359497 -72.996909
    Unten rechts KachelX + 1 18140 KachelY + 1 52592 -1.40244194 -1.27403641 -80.354004 -72.996909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27400837--1.27403641) × R
    2.80399999998959e-05 × 6371000     		dl = 178.642839999337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27400837--1.27403641) × R
    2.80399999998959e-05 × 6371000     		dr = 178.642839999337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40253781--1.40244194) × cos(-1.27400837) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.292450105386982 × 6371000     		do = 178.624947705576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40253781--1.40244194) × cos(-1.27403641) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.292423291158863 × 6371000     		du = 178.608569902979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27400837)-sin(-1.27403641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292450105386982-0.292423291158863)×R²
    abs(-1.40244194--1.40253781)×2.68142281187878e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.68142281187878e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.68142281187878e-05×40589641000000     		ar = 31908.6050664529m²