Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18136 / 52580
↖ ↑ ↗
← S 72.977622°
W 80.375977°		 ← 178.81 m → S 72.977622°
W 80.370484°		 →
↑
178.83 m
↓
↑
178.83 m
↓
S 72.979231°
W 80.375977°		 ← 178.79 m →
31 975 m²		 S 72.979231°
W 80.370484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276741027832031 y=0.802314758300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276741027832031 × 216)
    floor (0.276741027832031 × 65536)
    floor (18136.5)     		tx = 18136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802314758300781 × 216)
    floor (0.802314758300781 × 65536)
    floor (52580.5)     		ty = 52580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18136 / 52580 ti = "16/18136/52580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18136/52580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18136 ÷ 216
    18136 ÷ 65536     		x = 0.2767333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52580 ÷ 216
    52580 ÷ 65536     		y = 0.80230712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2767333984375 × 2 - 1) × π
    -0.446533203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.40282543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80230712890625 × 2 - 1) × π
    -0.6046142578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.8994517105451
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40282543} λ = -1.40282543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8994517105451))-π/2
    2×atan(0.149650648605206)-π/2
    2×0.148548266155969-π/2
    0.297096532311937-1.57079632675     		φ = -1.27369979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40282543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.375977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27369979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.977622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18136 KachelY 52580 -1.40282543 -1.27369979 -80.375977 -72.977622
    Oben rechts KachelX + 1 18137 KachelY 52580 -1.40272956 -1.27369979 -80.370484 -72.977622
    Unten links KachelX 18136 KachelY + 1 52581 -1.40282543 -1.27372786 -80.375977 -72.979231
    Unten rechts KachelX + 1 18137 KachelY + 1 52581 -1.40272956 -1.27372786 -80.370484 -72.979231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27369979--1.27372786) × R
    2.80699999999356e-05 × 6371000     		dl = 178.83396999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27369979--1.27372786) × R
    2.80699999999356e-05 × 6371000     		dr = 178.83396999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40282543--1.40272956) × cos(-1.27369979) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.292745180582519 × 6371000     		do = 178.80517602624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40282543--1.40272956) × cos(-1.27372786) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.292718340200048 × 6371000     		du = 178.788782248885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27369979)-sin(-1.27372786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292745180582519-0.292718340200048)×R²
    abs(-1.40272956--1.40282543)×2.68403824705832e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.68403824705832e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.68403824705832e-05×40589641000000     		ar = 31974.9736055219m²