Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18136 / 52338
↖ ↑ ↗
← S 72.584117°
W 80.375977°		 ← 182.81 m → S 72.584117°
W 80.370484°		 →
↑
182.85 m
↓
↑
182.85 m
↓
S 72.585762°
W 80.375977°		 ← 182.80 m →
33 425 m²		 S 72.585762°
W 80.370484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276741027832031 y=0.798622131347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276741027832031 × 216)
    floor (0.276741027832031 × 65536)
    floor (18136.5)     		tx = 18136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.798622131347656 × 216)
    floor (0.798622131347656 × 65536)
    floor (52338.5)     		ty = 52338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18136 / 52338 ti = "16/18136/52338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18136/52338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18136 ÷ 216
    18136 ÷ 65536     		x = 0.2767333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52338 ÷ 216
    52338 ÷ 65536     		y = 0.798614501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2767333984375 × 2 - 1) × π
    -0.446533203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.40282543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.798614501953125 × 2 - 1) × π
    -0.59722900390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.876250251129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40282543} λ = -1.40282543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.876250251129))-π/2
    2×atan(0.153163354431271)-π/2
    2×0.151982247895061-π/2
    0.303964495790123-1.57079632675     		φ = -1.26683183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40282543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.375977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26683183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.584117°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18136 KachelY 52338 -1.40282543 -1.26683183 -80.375977 -72.584117
    Oben rechts KachelX + 1 18137 KachelY 52338 -1.40272956 -1.26683183 -80.370484 -72.584117
    Unten links KachelX 18136 KachelY + 1 52339 -1.40282543 -1.26686053 -80.375977 -72.585762
    Unten rechts KachelX + 1 18137 KachelY + 1 52339 -1.40272956 -1.26686053 -80.370484 -72.585762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26683183--1.26686053) × R
    2.86999999998816e-05 × 6371000     		dl = 182.847699999246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26683183--1.26686053) × R
    2.86999999998816e-05 × 6371000     		dr = 182.847699999246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40282543--1.40272956) × cos(-1.26683183) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.299305302812015 × 6371000     		do = 182.812018453721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40282543--1.40272956) × cos(-1.26686053) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.299277918371495 × 6371000     		du = 182.795292372364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26683183)-sin(-1.26686053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299305302812015-0.299277918371495)×R²
    abs(-1.40272956--1.40282543)×2.73844405191959e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.73844405191959e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.73844405191959e-05×40589641000000     		ar = 33425.2279461421m²