Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 18134 / 52581
↖ ↑ ↗
← S 72.979231°
W 80.386963°		 ← 178.81 m → S 72.979231°
W 80.381469°		 →
↑
178.77 m
↓
↑
178.77 m
↓
S 72.980838°
W 80.386963°		 ← 178.79 m →
31 964 m²		 S 72.980838°
W 80.381469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276710510253906 y=0.802330017089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276710510253906 × 216)
    floor (0.276710510253906 × 65536)
    floor (18134.5)     		tx = 18134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802330017089844 × 216)
    floor (0.802330017089844 × 65536)
    floor (52581.5)     		ty = 52581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18134 / 52581 ti = "16/18134/52581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18134/52581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18134 ÷ 216
    18134 ÷ 65536     		x = 0.276702880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52581 ÷ 216
    52581 ÷ 65536     		y = 0.802322387695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276702880859375 × 2 - 1) × π
    -0.44659423828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.40301718
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802322387695312 × 2 - 1) × π
    -0.604644775390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.89954758434435
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40301718} λ = -1.40301718}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89954758434435))-π/2
    2×atan(0.149636301716722)-π/2
    2×0.148534233503062-π/2
    0.297068467006124-1.57079632675     		φ = -1.27372786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40301718} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.386963°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27372786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.979231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18134 KachelY 52581 -1.40301718 -1.27372786 -80.386963 -72.979231
    Oben rechts KachelX + 1 18135 KachelY 52581 -1.40292130 -1.27372786 -80.381469 -72.979231
    Unten links KachelX 18134 KachelY + 1 52582 -1.40301718 -1.27375592 -80.386963 -72.980838
    Unten rechts KachelX + 1 18135 KachelY + 1 52582 -1.40292130 -1.27375592 -80.381469 -72.980838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27372786--1.27375592) × R
    2.80599999999964e-05 × 6371000     		dl = 178.770259999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27372786--1.27375592) × R
    2.80599999999964e-05 × 6371000     		dr = 178.770259999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40301718--1.40292130) × cos(-1.27372786) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.292718340200048 × 6371000     		do = 178.807431334226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40301718--1.40292130) × cos(-1.27375592) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.292691509149007 × 6371000     		du = 178.791041546987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27372786)-sin(-1.27375592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292718340200048-0.292691509149007)×R²
    abs(-1.40292130--1.40301718)×2.68310510413983e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.68310510413983e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.68310510413983e-05×40589641000000     		ar = 31963.985988185m²