Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18134 / 52578
↖ ↑ ↗
← S 72.974406°
W 80.386963°		 ← 178.86 m → S 72.974406°
W 80.381469°		 →
↑
178.83 m
↓
↑
178.83 m
↓
S 72.976015°
W 80.386963°		 ← 178.84 m →
31 984 m²		 S 72.976015°
W 80.381469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276710510253906 y=0.802284240722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276710510253906 × 216)
    floor (0.276710510253906 × 65536)
    floor (18134.5)     		tx = 18134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802284240722656 × 216)
    floor (0.802284240722656 × 65536)
    floor (52578.5)     		ty = 52578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18134 / 52578 ti = "16/18134/52578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18134/52578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18134 ÷ 216
    18134 ÷ 65536     		x = 0.276702880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52578 ÷ 216
    52578 ÷ 65536     		y = 0.802276611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276702880859375 × 2 - 1) × π
    -0.44659423828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.40301718
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802276611328125 × 2 - 1) × π
    -0.60455322265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.89925996294662
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40301718} λ = -1.40301718}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89925996294662))-π/2
    2×atan(0.149679346508976)-π/2
    2×0.148576335321338-π/2
    0.297152670642676-1.57079632675     		φ = -1.27364366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40301718} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.386963°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27364366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.974406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18134 KachelY 52578 -1.40301718 -1.27364366 -80.386963 -72.974406
    Oben rechts KachelX + 1 18135 KachelY 52578 -1.40292130 -1.27364366 -80.381469 -72.974406
    Unten links KachelX 18134 KachelY + 1 52579 -1.40301718 -1.27367173 -80.386963 -72.976015
    Unten rechts KachelX + 1 18135 KachelY + 1 52579 -1.40292130 -1.27367173 -80.381469 -72.976015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27364366--1.27367173) × R
    2.80699999999356e-05 × 6371000     		dl = 178.83396999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27364366--1.27367173) × R
    2.80699999999356e-05 × 6371000     		dr = 178.83396999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40301718--1.40292130) × cos(-1.27364366) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.292798851093715 × 6371000     		do = 178.856611532778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40301718--1.40292130) × cos(-1.27367173) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.292772011172506 × 6371000     		du = 178.840216327184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27364366)-sin(-1.27367173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292798851093715-0.292772011172506)×R²
    abs(-1.40292130--1.40301718)×2.68399212091097e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.68399212091097e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.68399212091097e-05×40589641000000     		ar = 31984.1718934493m²