Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18134 / 52339
↖ ↑ ↗
← S 72.585762°
W 80.386963°		 ← 182.81 m → S 72.585762°
W 80.381469°		 →
↑
182.78 m
↓
↑
182.78 m
↓
S 72.587405°
W 80.386963°		 ← 182.80 m →
33 414 m²		 S 72.587405°
W 80.381469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276710510253906 y=0.798637390136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276710510253906 × 216)
    floor (0.276710510253906 × 65536)
    floor (18134.5)     		tx = 18134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.798637390136719 × 216)
    floor (0.798637390136719 × 65536)
    floor (52339.5)     		ty = 52339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18134 / 52339 ti = "16/18134/52339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18134/52339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18134 ÷ 216
    18134 ÷ 65536     		x = 0.276702880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52339 ÷ 216
    52339 ÷ 65536     		y = 0.798629760742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276702880859375 × 2 - 1) × π
    -0.44659423828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.40301718
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.798629760742188 × 2 - 1) × π
    -0.597259521484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.87634612492824
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40301718} λ = -1.40301718}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87634612492824))-π/2
    2×atan(0.153148670782477)-π/2
    2×0.15196790078309-π/2
    0.30393580156618-1.57079632675     		φ = -1.26686053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40301718} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.386963°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26686053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.585762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18134 KachelY 52339 -1.40301718 -1.26686053 -80.386963 -72.585762
    Oben rechts KachelX + 1 18135 KachelY 52339 -1.40292130 -1.26686053 -80.381469 -72.585762
    Unten links KachelX 18134 KachelY + 1 52340 -1.40301718 -1.26688922 -80.386963 -72.587405
    Unten rechts KachelX + 1 18135 KachelY + 1 52340 -1.40292130 -1.26688922 -80.381469 -72.587405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26686053--1.26688922) × R
    2.86899999999424e-05 × 6371000     		dl = 182.783989999633m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26686053--1.26688922) × R
    2.86899999999424e-05 × 6371000     		dr = 182.783989999633m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40301718--1.40292130) × cos(-1.26686053) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.299277918371495 × 6371000     		do = 182.814359368427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40301718--1.40292130) × cos(-1.26688922) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.29925054322621 × 6371000     		du = 182.797637220414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26686053)-sin(-1.26688922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299277918371495-0.29925054322621)×R²
    abs(-1.40292130--1.40301718)×2.7375145285724e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.7375145285724e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.7375145285724e-05×40589641000000     		ar = 33414.0097661374m²