Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18133 / 52275
↖ ↑ ↗
← S 72.480238°
W 80.392456°		 ← 183.87 m → S 72.480238°
W 80.386963°		 →
↑
183.87 m
↓
↑
183.87 m
↓
S 72.481891°
W 80.392456°		 ← 183.85 m →
33 806 m²		 S 72.481891°
W 80.386963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276695251464844 y=0.797660827636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276695251464844 × 216)
    floor (0.276695251464844 × 65536)
    floor (18133.5)     		tx = 18133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797660827636719 × 216)
    floor (0.797660827636719 × 65536)
    floor (52275.5)     		ty = 52275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18133 / 52275 ti = "16/18133/52275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18133/52275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18133 ÷ 216
    18133 ÷ 65536     		x = 0.276687622070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52275 ÷ 216
    52275 ÷ 65536     		y = 0.797653198242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276687622070312 × 2 - 1) × π
    -0.446624755859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40311305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.797653198242188 × 2 - 1) × π
    -0.595306396484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.87021020177687
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40311305} λ = -1.40311305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87021020177687))-π/2
    2×atan(0.154091268152282)-π/2
    2×0.152888766493599-π/2
    0.305777532987198-1.57079632675     		φ = -1.26501879
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40311305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.392456°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26501879 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.480238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18133 KachelY 52275 -1.40311305 -1.26501879 -80.392456 -72.480238
    Oben rechts KachelX + 1 18134 KachelY 52275 -1.40301718 -1.26501879 -80.386963 -72.480238
    Unten links KachelX 18133 KachelY + 1 52276 -1.40311305 -1.26504765 -80.392456 -72.481891
    Unten rechts KachelX + 1 18134 KachelY + 1 52276 -1.40301718 -1.26504765 -80.386963 -72.481891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26501879--1.26504765) × R
    2.88600000000194e-05 × 6371000     		dl = 183.867060000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26501879--1.26504765) × R
    2.88600000000194e-05 × 6371000     		dr = 183.867060000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40311305--1.40301718) × cos(-1.26501879) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.301034735463717 × 6371000     		do = 183.868334766419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40311305--1.40301718) × cos(-1.26504765) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.301007214062116 × 6371000     		du = 183.851525030909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26501879)-sin(-1.26504765))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.301034735463717-0.301007214062116)×R²
    abs(-1.40301718--1.40311305)×2.75214016002279e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.75214016002279e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.75214016002279e-05×40589641000000     		ar = 33805.7847649105m²