Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18133 / 14159
↖ ↑ ↗
← N 80.261292°
W130.196228°		 ← 51.65 m → N 80.261292°
W130.193482°		 →
↑
51.67 m
↓
↑
51.67 m
↓
N 80.260827°
W130.196228°		 ← 51.66 m →
2 669 m²		 N 80.260827°
W130.193482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138347625732422 y=0.108028411865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138347625732422 × 217)
    floor (0.138347625732422 × 131072)
    floor (18133.5)     		tx = 18133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108028411865234 × 217)
    floor (0.108028411865234 × 131072)
    floor (14159.5)     		ty = 14159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18133 / 14159 ti = "17/18133/14159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18133/14159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18133 ÷ 217
    18133 ÷ 131072     		x = 0.138343811035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14159 ÷ 217
    14159 ÷ 131072     		y = 0.108024597167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138343811035156 × 2 - 1) × π
    -0.723312377929688 × 3.1415926535     		Λ = -2.27235285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108024597167969 × 2 - 1) × π
    0.783950805664062 × 3.1415926535     		Φ = 2.46285409177962
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27235285} λ = -2.27235285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46285409177962))-π/2
    2×atan(11.7382658645261)-π/2
    2×1.4858100693019-π/2
    2.97162013860379-1.57079632675     		φ = 1.40082381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27235285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.196228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40082381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.261292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18133 KachelY 14159 -2.27235285 1.40082381 -130.196228 80.261292
    Oben rechts KachelX + 1 18134 KachelY 14159 -2.27230492 1.40082381 -130.193482 80.261292
    Unten links KachelX 18133 KachelY + 1 14160 -2.27235285 1.40081570 -130.196228 80.260827
    Unten rechts KachelX + 1 18134 KachelY + 1 14160 -2.27230492 1.40081570 -130.193482 80.260827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40082381-1.40081570) × R
    8.10999999978357e-06 × 6371000     		dl = 51.6688099986211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40082381-1.40081570) × R
    8.10999999978357e-06 × 6371000     		dr = 51.6688099986211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27235285--2.27230492) × cos(1.40082381) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.16915526197481 × 6371000     		do = 51.6535941818414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27235285--2.27230492) × cos(1.40081570) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.169163255099412 × 6371000     		du = 51.656034978596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40082381)-sin(1.40081570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16915526197481-0.169163255099412)×R²
    abs(-2.27230492--2.27235285)×7.99312460231238e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.99312460231238e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.99312460231238e-06×40589641000000     		ar = 2668.94279999207m²