Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 18132 / 52277
↖ ↑ ↗
← S 72.483545°
W 80.397949°		 ← 183.85 m → S 72.483545°
W 80.392456°		 →
↑
183.87 m
↓
↑
183.87 m
↓
S 72.485198°
W 80.397949°		 ← 183.84 m →
33 803 m²		 S 72.485198°
W 80.392456°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276679992675781 y=0.797691345214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276679992675781 × 216)
    floor (0.276679992675781 × 65536)
    floor (18132.5)     		tx = 18132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797691345214844 × 216)
    floor (0.797691345214844 × 65536)
    floor (52277.5)     		ty = 52277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18132 / 52277 ti = "16/18132/52277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18132/52277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18132 ÷ 216
    18132 ÷ 65536     		x = 0.27667236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52277 ÷ 216
    52277 ÷ 65536     		y = 0.797683715820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27667236328125 × 2 - 1) × π
    -0.4466552734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40320893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.797683715820312 × 2 - 1) × π
    -0.595367431640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.87040194937535
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40320893} λ = -1.40320893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87040194937535))-π/2
    2×atan(0.154061724354234)-π/2
    2×0.152859907788702-π/2
    0.305719815577405-1.57079632675     		φ = -1.26507651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40320893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.397949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26507651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.483545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18132 KachelY 52277 -1.40320893 -1.26507651 -80.397949 -72.483545
    Oben rechts KachelX + 1 18133 KachelY 52277 -1.40311305 -1.26507651 -80.392456 -72.483545
    Unten links KachelX 18132 KachelY + 1 52278 -1.40320893 -1.26510537 -80.397949 -72.485198
    Unten rechts KachelX + 1 18133 KachelY + 1 52278 -1.40311305 -1.26510537 -80.392456 -72.485198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26507651--1.26510537) × R
    2.88599999997974e-05 × 6371000     		dl = 183.867059998709m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26507651--1.26510537) × R
    2.88599999997974e-05 × 6371000     		dr = 183.867059998709m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40320893--1.40311305) × cos(-1.26507651) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.300979692409807 × 6371000     		do = 183.853890558355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40320893--1.40311305) × cos(-1.26510537) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.300952170506813 × 6371000     		du = 183.837078763178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26507651)-sin(-1.26510537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300979692409807-0.300952170506813)×R²
    abs(-1.40311305--1.40320893)×2.75219029947649e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.75219029947649e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.75219029947649e-05×40589641000000     		ar = 33803.1287611907m²